Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам (стр. 4 из 11)
, (14)где
- произвольные целые числа, а 
- интегралы вдоль замкнутых контуров 
, каждый из которых содержит внутри себя одну связную часть границы 
: 
. (15)Постоянные
называются периодами интеграла (13) или циклическими постоянными.Можно доказать, что решение задачи Неймана сводится к решению задачи Дирихле для сопряженной гармонической функции
, где 
, 
носят название соответственно силовой функции и потенциала поля.Функции
и , представляющие собой регулярные решения системы Коши-Римана [6]: 
, 
(16)имеют частные производные всех порядков, т.е. аналитические функции
являются решением уравнения 
. (17)Условие (17) – условие комплексной дифференцируемости функции
.§2. О задачах Шварца-Пуассона.
а) Интеграл Шварца для круга
, регулярной в области, через значения 
на контуре, в том случае, когда область есть круг радиуса 
, известен – это есть так называемый интеграл Шварца [6, 8, 9]:
, (
, 
) (18)Полагая здесь
, мы найдем для 
чисто вещественное значение , для которого мнимая часть обращается в нуль в начале координат.Чтобы получить общее решение, мы должны добавить к правой части произвольное мнимое число
:
, . (19)Отделим в (18) вещественную и мнимую части, так как вещественная
часть даст нам интеграл Пуассона для
и мнимая же часть доставляет выражение 
через 
.Для единичного круга
, имеет вид:
, (20)где
, 
- представляет значение вещественной части искомой функции в точке 
.б) Интегральная формула Пуассона.
Задача Дирихле об определении значений гармонической функции внутри круга, если известны ее значения на границе, решается, как известно, интегралом Пуассона:
, (21)где
- полярные координаты точки, где ищется значение решения; - радиус окружности и 
- функция полярного угла 
, дающая граничные значения 
[9].
,(
, 
)Поэтому
представима рядом:
(22)где
и 
- коэффициенты Фурье :
; 
; 
В центре окружности при
мы получаем:
(23)Равенство (23) – теорема Гаусса о том, что значение гармонической функции в центре окружности есть среднее арифметическое ее значений на самой окружности.
в) Интеграл Пуассона для внешности круга.
Найти функцию, гармоническую и ограниченную вне окружности
и принимающую на самой окружности заданные значения [9]:
, ().Покажем, что искомую функцию
может быть представлена интегралом типа Пуассрна, который может быть получен из (1).Пусть
, а 
,Функция
, гармоническая вне окружности , перейдет в функцию 
, гармоническую внутри круга радиуса 
, принимающую на его границе значения
.По формуле (1) она при
представима интегралом Пуассона:
.Если в этом равенстве подставить вместо
и 
их выражения через 
и и заменить переменную интегрирования, положив 
, то мы получим формулу Пуассона для внешности окружности:
, (24)решающую поставленную задачу. Она отличается от (1) только тем, что в ней
и переменились местами, так что ядро интеграла (4) отличается от ядра интеграла Пуассона (1) только знаком.