Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам (стр. 3 из 11)

Если L состоит из единственного замкнутого контура, то различают два случая:

а) р=0. Тогда S⁺ представляет собой конечную часть плоскости, ограниченную контуром

;

б) р=1, а контур

отсутствует. Тогда область S⁺ представляет собой бесконечную часть плоскости, ограниченную контуром .

Легко видеть, что в случае а) задачи А и В совпадают (если считать

=0) в случае б) эти задачи непосредственно сводятся одна к другой.

Каждая из задач А и В не может иметь более одного решения (если

=0).

д) Общая формулировка задачи Дирихле.

Задача Дирихле – задача отыскания регулярной вобласти D гармонической функции и которая на границе Г области D совпадает с наперед заданной функцией

. Задачу отыскания регулярного в области решения эллиптического уравнения 2-го порядка, принимающего на перед заданные значения на границе области, также называется задачей Дирихле, или первой краевой задачей.

Вопросы связанные с этой задачей, рассматривались еще К.Гауссом, а затем Дирихле. Для областей D с достаточно гладкой границей Г решение задачи Дирихле можно представить интегральной формулой

, (8)

где

- производная по направлению внутренней нормали в точке функции Грина , характеризуемой следующими свойствами:

1.

, при 3 или

, при 2,

где

- расстояние между точками и , - площадь единичной сферы в , - регулярная в гармоническая функция как относительно координат , так и относительно координат ;

2.

, когда , .

Для шара, полупространства и некоторых других простейших областей функция Грина строится явно и формула (8) дает эффективное решение задачи Дирихле. Получаемые при этом для шара и полупространства формулы носят название формул Пуассона.

Задача Дирихле является одной из основных проблем теории потенциала – теории гармонических функций.

Для обобщенного по Винеру решения задачи Дирихле справедливо интегральное представление в виде формулы Вилля-Пуассона

, (9)

являющейся обобщением формулы (8). Здесь

- гармоническая мера множества в точке . Отсюда возникает возможность рассмотрения обобщенной задачи Дирихле для произвольных граничных функций , при этом можно требовать удовлетворения граничного условия лишь в некоторой ослабленной форме.

Например, если

- область с достаточно гладкой границей Г, а граничащая функция имеет только точки разрыва 1-го рода, то можно требовать удовлетворения граничного условия лишь в точках непрерывности , для обеспечения единственности решения в точках разрыва требуется ограниченность решения.

е) Задача Неймана.

Наряду с задачей Дирихле для некоторых приложений важно рассмотреть так называемую вторую краевую задачу, или задачу Неймана:

Найти гармоническую в области

функцию , зная значения ее нормальной производной на границе С:

(10)

и значение

в какой-либо точке в области .

Для определенности мы будем предполагать, что в (10) рассматривается внешняя нормаль, что означает угол, образованный этой нормалью с осью х. Функция

может иметь на конечное число точек разрыва 1-го рода, функция и ее частные производные первого порядка предполагаются ограниченными.

Следующая теорема выражает от нормальной производной гармонической функции:

Если функция

гармонична в односвязной области и непрерывна вместе со своими частными производными в , то

, (11)

где

- граница области обозначает производную в направлении нормали к , а - дифференциал дуги.

Из этой теоремы следует, что для разрешимости задачи Неймана необходимо выполнения соотношения

. (12)

Доказывается единственность решения задачи Неймана и при доказательстве единственности решения задачи Неймана можно ограничиться случаем, когда область

представляет собой полуплоскость ( z, > 0).

В дополнительном предположении непрерывности частных производных в

решение задачи Неймана сводится к решению задачи Дирихле для сопряженной гармонической функции.

Две гармонические в области

функции и , связанные условиями Даламбера-Эйлера называются сопряженными.

Как мы знаем, для всякой функции

гармонической в односвязной области , можно найти сопряженную с ней гармоническую функцию . Так как функция определяется своими частными производными с точностью до постоянного слагаемого, то совокупность всех гармонических функций сопряженных с дает формула:

, (13)

где С – произвольная действительная постоянная.

Заметим, что в многосвязной области

интеграл (13) по контуру , определяет, вообще говоря, многозначную функцию: