Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам (стр. 2 из 11)

б) Обобщенная задача Дирихле.

В приложениях условие непрерывности граничных значений

, является слишком стеснительным и приходится рассматривать обобщенную задачу Дирихле [1]:

На границе

области D задана функция , непрерывная всюду, кроме конечного числа точек , где она имеет точки разрыва первого рода. Найти гармоническую и ограниченную в области D функцию u(z), принимающую значения u(z) =

во всех точках непрерывности этой функции.

Если заданная функция

непрерывна, то обобщенная задача Дирихле совпадет с обычной, ибо условие ограниченности функции u(z) следует из условия ее непрерывности в

.

Теорема единственности решения обобщенной задачи Дирихле:

В данной области при заданной граничной функции

существует не более одного решения обобщенной задачи Дирихле.

Решение обобщенной задачи Дирихле можно свести к решению обычной задачи Дирихле.

Можно доказать, что:

1. для любой односвязной области D и любой кусочно-непрерывной с точками разрыва первого рода граничной функции

решение обобщенной задачи Дирихле существует.

2. решение обобщенной задачи Дирихле для единичного круга дается интегралом Пуассона

, , ) (2)

3. для произвольной области D, мы получим искомую формулу для решения обобщенной задачи Дирихле интегральной формулой Дж.Грина [12, 18]:

, (3)

где

- производная в направлении внутренней нормали к С,

ds - элемент длины

, соответствующей ,

- элемент внутренней нормали к , - фиксированная произвольная точка области D, а функция ; , реализующая отображение D на единичный круг и - функция Грина для области D, гармоническую всюду в D кроме точки , где имеет плюс.

Формула Грина (3) выражает решение задачи Дирихле для некоторой области D через логарифм конформного отображения D на единичный круг, т.е. сводит решение задачи Дирихле к задаче конформного отображения. И обратное верно.

Итак, задача конформного отображения области на единичный круг и задача Дирихле для той же области эквивалентны, они сводятся друг к другу с помощью простых операций дифференцирования и интегрирования.

в) Видоизмененная задача Дирихле.

Пусть S⁺ - связная область, ограниченная простыми замкнутыми непересекающимися гладкими контурами

, из которых первый охватывает все остальные. Под L мы будем подразумевать совокупность этих контуров , ( ). Через - мы обозначим совокупность конечных областей заключенных, соответственно, внутри контуров и бесконечной области , состоящей из точек расположенных вне . На контуры мы наложим еще следующее условие: угол, составляемый касательной к с постоянным направлением, удовлетворяет условию H; иными словами, мы будем считать, что L удовлетворяет условию Ляпунова [17,24].

Функция

удовлетворяет условию Hна этом множестве, если для любых двух переменной на этом множестве

, (4)

где Aи

- положительные постоянные показатели Гельдера, А – коэффициент, а - показатель условия Н и при =1 – условие Липшица, функции, удовлетворяющие условию Н называются непрерывными по Гельдеру и сильнее, чем обычное определение непрерывности.

г) Классическая задача Дирихле для многосвязных областей [24].

Найти (действительную) функцию u(x,y), гармоническую в

, по граничному условию

u=f(t) на L, (5)

где f(t) – заданная на L (действительная) непрерывная функция; в случае бесконечной области от функции u(x,y) требуется еще, чтобы она оставалась ограниченной на бесконечности, т.е. и стремится к вполне определенному пределу, когда z уходит в бесконечность.

Напомним, что всякая функция u(z) гармоническая вне круга

в ряд.

, )

абсолютно и равномерно сходящийся вне круга любого радиуса

поэтому u→ при r→ .

Для некоторых применений не меньший интерес представляет и следующая задача, которая называется "видоизмененной задачей Дирихле". Термин этот введен в статье Н.И.Мусхелишвили и Д.З.Авазошвили [17].

Видоизмененная задача Дирихле – задача Дирихле

для многосвязных областей.

Найти функцию u(x,y), гармоническую в S⁺, непрерывную в

, по следующим условиям:

1. u(x,y)=

Ф(z) является действительной частью функции Ф(z), голоморфной в S⁺;

2. она удовлетворяет граничному условию

u=f(t)+

(t) на L, (6)

где f(t) – заданная на

непрерывная функция , , (7)

где

постоянные не задаваемые заранее; в случае бесконечной области требование u(x,y)=f(t)+

на заменяются требованием ограниченности u(x,y) на бесконечности.

Можно показать, что постоянные

вполне определяются условиями самой задачи, если (произвольно) фиксировать одну из них.