Решение уравнений в конечных разностях (стр. 1 из 3)

Используя описанные выше соотношения между операторами дифференцирования и операторами конечных разностей несложно в заданном интервале изменения независимой переменной получить конечно-разностную аппроксимации дифференциальных уравнений системой алгебраических рекуррентных формул или уравнений. Основная идея аппроксимации схематически представляется так: В заданном в общем виде дифференциальном уравнении или системе

производится замена независимой переменной t ее представлением в заданном интервале

путем преобразования

, а искомая функция и ее производные выражаются посредством конечно-разностных соотношений через некоторое число равномерно расположенных с шагом

ординат

, начиная с

,...,

Разрешив неявную форму разностного выражения относительно старшей ординаты

, получим рекуррентную формулу, из которой по известным k начальным ординатам можно последовательно найти ординаты всего искомого процесса. Вопрос лишь в том, где взять нужное количество начальных ординат. Благополучно разрешима задача лишь в случае, когда производная аппроксимируется разностью первого порядка:

После приведения исходной системы к системе уравнений первого порядка каждая искомая переменная получает значение при

, равное своему начальному условию. В результате рекуррентный вычислительный процесс оказывается определенным и позволяет вычислить на очередном шаге

значения всех переменных:

или

где

- вектор переменных,

- вектор производных.

Такой вычислительный процесс в литературе получил название численного интегрирования систем дифференциальных уравнений по явному методу Эйлера. Основная трудность здесь заключается в выборе шага интегрирования для нецелочисленной независимой переменной t.

2. Решение линейных разностных уравнений

Система линейных разностных уравнений может быть в ряде случаев решена и аналитически. Решение представляется в виде алгебраического выражения от целочисленной переменной. Методика решения аналогична той, что применяется и при решении линейных дифференциальных уравнений.

Используется тот факт, что общее решение неоднородного линейного уравнения представляется взвешенной суммой системы фундаментальных решений однородного уравнения и одного частного решения уравнения неоднородного. Воздействие неоднородности на характер общего решения не связано с конкретными значениями начальных условий. Именно это позволяет находить лишь одно частное решение уравнения с правой частью. Число фундаментальных решений однородного уравнения определяется порядком последнего.

В качестве частных решений для линейных уравнений обычно используют функции, инвариантные по отношению к операции сдвига, т.е. функции, не изменяющие своей структуры при переносе начала координат. В конечно-разностных уравнениях это показательные функции:

Где p - некоторый параметр-константа. Количество частных решений определится числом параметров

, для которых

будет обращать разностное уравнение в тождество. Общее решение составляется в виде суммы частных решений, умноженных на коэффициенты, определяемые конкретными начальными условиями. Рассмотрим пример решения линейного неоднородного уравнения третьего порядка.

Пусть требуется заменить рекуррентный вычислительный процесс с псевдокодом следующего вида:

на формульное выражение для

, как функции от n, позволяющее выборочно вычислять значение любого члена последовательности. Для этого в рекуррентном операторе цикла заменим оператор ': =' на символ равенства '=' и запишем полученное уравнение в форме неоднородного разностного уравнения относительно

В качестве фундаментальной системы функций возьмем

тогда характеристическое уравнение примет следующий вид:

Решив уравнение, найдем корни:

, следовательно, частными решениями однородного уравнения будут:

Частное решение неоднородного уравнения (с правой частью) попробуем найти в виде функции, которая будет пропорциональна квадратуре от правой части с неизвестными коэффициентами:

Для нахождения коэффициентов a и b подставим в уравнение

и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях n в левой и правой частях полученного равенства. Последовательно выполняя сказанное, имеем:

Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые при различных степенях n, получим

откуда

и частное решение примет вид

Общее решение для конкретных начальных условий ищем в виде суммы частных решений:

Константы

находим из уравнений, получаемых после подстановки в общее решение значений для

при

В результате, общее решение неоднородного уравнения будет:

Для примера выпишем несколько первых членов ряда, полученных вычислением этого выражения: [0, - 1, 1, 2, 2, 5, 11, 16, 20, 27, 37, 46, 54, 65, 79, 92, 104, 119, 137, 154, 170,...]

3. Рекуррентные формулы для решения разностных уравнений

Интегрирование системы нелинейных разностных уравнений первого порядка по Эйлеру аналитически выполнить, как правило, не удается. Поэтому решение задачи получают в численном виде путем вычисления очередных значений процессов по рекуррентным формулам, начиная с известных начальных условий:

Где

- очередное значение вектора решений,