Решение уравнений в конечных разностях (стр. 3 из 3)

для которого уже каким-либо способом найдены k+1 значений решения

, что, естественно, определяет и соответству-ющие значения . На основе построим интерполя-ционный многочлен k-той степени:

Приращение решения на внешнем интервале

можно получить, проинтегрировав интерполяционный многочлен в интервале по переменной q, предварительно сделав замену переменных:

.

Интегралы в каждом слагаемом зависят только от i и определяют коэффициенты, с которыми повторные разности входят в выражение для приращения. Таким образом, экстраполяционная формула Адамса имеет вид:

,

где первые пять коэффициентов приведены в таблице

i	0	1	2	3	4

Появление нового значения

требует для очередного шага вычислить новые значения повторных разностей. Для этого в таблице разностей заполняется по одной дополнительной клеточки в каждом столбце после одного-единственного вычисления правой части. В этом и состоит основное достоинство экстраполяционных формул.

В формулу Адамса вместо повторных разностей можно подставить их выражения через ординаты

. Например, ограничившись , получим

Модификаций у формул Адамса много. Можно менять не только интерполяционные многочлены, но и вычислять приращения в пределах нескольких шагов. Наиболее простой получается формула для k=4, в которой приращение вычисляется на интервале в два шага

:

Если построить интерполяционный многочлен Ньютона не от точки

, а от точки и опять вычислить для k=4 приращение в интервале , то последнее может служить контролем за точностью вычислений:

Литература

1. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. - 548с.

2. Волков Е.А. Численные методы. СПб.: Лань, 2004. - 248с.

3. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967. - 375с.

4. Калашников В.И. Аналоговые и гибридные вычислительные устройства: Учеб. пособие. - Харьков: НТУ “ХПИ", 2002. - 196с.

5. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во иностр. лит., 1958. - 474с.

6. Скалкина М.А., “О колебаниях решений уравнений в конечных разностях", Изв. вузов. Матем., 1959, № 6, 138-144