Статическое моделирование систем (стр. 4 из 12)

2. Доверительный интервал для оценки дисперсии на основе распределения

со степенью свободы n-1. Его границы

Теоретическая дисперсия

попадает в доверительный интервал.

Найдена статистика Пирсона

. Произведена проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины X, при использовании критерия Пирсона при уровне значимости α: гипотеза принята, так как найденная статистика χ² меньше табличной

Полный текст программы данного раздела см. в «Приложении 1».

2. Моделирование случайной величины, распределённой по заданному закону

2.1 Построение гистограммы распределения

Дана функция (2.1), в которой необходимо сначала определить неизвестный коэффициент, а затем вычислить функцию распределения.

f(x)=b(3-x), b>0, 1<x<2, (2.1)

Для этих вычислений воспользуемся методом обратной функции. Для вычисления неизвестного коэффициента (параметра) воспользуемся проверкой условия нормировки (2.2):

(2.2)

Подставив данную для исследований функцию, получаем:

, (2.3)

Прировняв полученное выражение к единице, находим параметр b:

b=2/3 (2.4)

Подставив найденный параметр в начальную функцию, получаем:

(2.5)

Далее необходимо вычислить функцию распределения

(2.6)

где u – случайная величина, распределённая на отрезке [0;1]

x1 – нижний предел функции f(x)

Для функции (2.1) получаем:

(2.7)

При решении уравнения (2.7) получаем неопределённость:

(2.8)

Для выбора искомой функции, необходимо проверить принадлежность х интервалу (1;2) при крайних значениях u. После проверки один вариант функции (2.8) отсеялся, функция (2.8) приняла вид:

(2.9)

Получили закон распределения

Тогда за теоретическую плотность распределения принимается функция (2.5). Остальные вычисления аналогичны первому разделу.

Количество интервалов в гистограмме, определенное по правилу Стургерса:

Промежуточные вычисления для построения гистограммы определяются как в предыдущем разделе:

(2.6)

(2.7)

где

- границы интервала,

- частота попадания выборочных величин в интервал (

)

n – объём выборки

- высота прямоугольника на графике

Из способа построения гистограммы следует, что полная площадь всех прямоугольников равна единице:

(2.8)

где fs(x) - эмпирическая плотность распределения (полученная экспериментально), которую можно вычислить по формуле:

(2.9)

На полученную гистограмму для качественного анализа необходимо наложить теоретическую плотность распределения случайной величины, распределенной по закону:

(2.10)

В итоге получится гистограмма распределения (см. график 2) с отображением эмпирической и теоретической плотностей распределения, которая даёт возможность наглядно сравнить эти плотности.

График 2 – Сравнение эмпирической и теоретической плотностей распределения

2.2 Определение выборочной оценки математического ожидания и дисперсии

Вычисление выборочного среднего производиться по формуле (2.11):

(2.11)

Тогда выборочную дисперсию можно рассчитать по следующей формуле (2.12):

(2.12)

Для дисперсии в качестве несмещенной и состоятельной оценки используется величина (2.13):

(2.13)

Теоретические значения математического ожидания и дисперсии вычисляются по формулам (2.14-2.15):

(2.14)

(2.15)

Теоретические значения должны попадать в доверительные интервалы.

2.4 Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, соответствующих доверительной вероятности

Доверительный интервал для оценки математического ожидания можно представить в виде (2.16):

(2.16)

(2.17)

где t_γ – квантиль нормального распределения, который определяется по статистическим таблицам.

Границы доверительного интервала вычислены по формулам (2.18-2.19).

, (2.18)

, (2.19)

Значение математического ожидания

входит в доверительный интервал. Доверительный интервал для дисперсии определяется так же, как и для математического ожидания и имеет вид (2.20):

Iγ=(Dn-ε, Dn+ε), (2.20)

где ε вычисляется по формуле (2.21):

, (2.21)

где Dd – дисперсия оценки Dn (2.22).

, (2.22)

Конечные формулы границ доверительного интервала имеют вид (2.23-2.24):

(2.23)

(2.24)

Несмещённая оценка

входит в доверительный интервал.

2.4 Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины с помощью критерия Пирсона при определённом уровне значимости

Критерий Пирсона имеет вид (2.25):

, (2.25)

где ν_k – число точек в k-ом интервале гистограммы (частота попадания)

p_k – теоретические вероятности попадания точек в k-ый интервал, которые могут быть вычислены по формуле (2.26)

n – объём выборки случайной величины

К – количество интервалов

(2.26)

где f(х) – плотность вероятности теоретического распределения (2.10).

Границы интервалов можно вычислить по формулам:

где Xmax, Xmin – максимальное и минимальное значение реализации случайного процесса.

Для определения частоты попадания выборочных значений в каждый k-ый интервал по переменной Х воспользуемся формулой (2.27):

, (2.27)