Статическое моделирование систем (стр. 2 из 12)

1) случайная величина

, вычисляемая по формуле (1.1), сходится по вероятности к

(1.1)

2) случайная величина

имеет асимптотически нормальное распределение вероятностей с центром и дисперсией, вычисляемой по формуле (1.2), при условии, что существует общая дисперсия величин .

(1.2)

На основании центральной предельной теоремы рассмотрим сумму

,

где

- совокупность взаимно независимых равномерно распределенных случайных величин на отрезке R[0,1].

Известно, что каждая из случайных величин

с распределением R[0,1] имеет математическое ожидание (1.3) и дисперсию (1.4).

(1.3)

(1.4)

Тогда согласно теоремам сложения математических ожиданий и дисперсий

,

.

Следовательно, случайная величина (1.5) имеет математическое ожидание

и дисперсию и при ее распределение стремится к нормальному.

(1.5)

В данной работе дано количество слагаемых в сумме N, задано математическое ожидание

и стандартное отклонение выходной случайной величины y. Если известна случайная величина с распределением N[0,1], то случайная величина с распределением N[ ] получается в результате линейного преобразования

(1.6)

Гистограмма распределения представляет собой удобный способ представления статистических данных. Гистограмма строится следующим образом:

Пусть имеется выборка случайной величины объемом n:

. Из этой выборки определяются минимальные (1.7) и максимальные (1.8) значения:

(1.7)

При данных условиях

(1.8)

При данных условиях

Весь отрезок [A,B] разбивается на K интервалов, как правило, одинаковой длины.

Число интервалов при построении гистограммы не должно быть слишком большим и слишком малым. При большом количестве интервалов в гистограмме обнаруживаются незакономерные колебания. На практике рекомендуется в каждом интервале иметь не менее 5-10 точек. Предварительный выбор количества интервалов можно сделать по правилу Стургенса:

(1.9)

где n – объём выборки,

() – операция взятия целой части от действительного числа Если число точек в интервале слишком мало (порядка 1-2), то имеет смысл объединить некоторые интервалы и пересчитать гистограмму.

Найдя количество интервалов разбиения, можно вычислить длину каждого интервала по формуле:

или

(1.10)

Для построения гистограммы нужно частоту попадания случайных величин x_k в каждый интервал [

) разделить на его длину и полученную величину взять в качестве высоты прямоугольника на графике. Причем последний интервал необходимо рассмотреть как отрезок. Таким образом, описанное правило можно изобразить математически:

(1.11)

(1.12)

где

и - границы интервала,

- частота попадания выборочных величин в интервал ( )

n – объём выборки

- высота прямоугольника на графике

Из способа построения гистограммы следует, что полная площадь всех прямоугольников равна единице:

(1.13)

где fs(x) - эмпирическая плотность распределения (полученная экспериментально), которую можно вычислить по формуле:

(1.14)

На полученную гистограмму для качественного анализа необходимо наложить теоретическую плотность распределения случайной величины, распределенной по закону

(1.15)

В итоге получится гистограмма распределения (см. график 1) с отображением эмпирической и теоретической плотностей распределения, которая даёт возможность наглядно сравнить эти плотности.

График 1 – Сравнение эмпирической и теоретической плотностей распределения

1.2 Вычисление выборочного среднего и выборочной дисперсии

В качестве оценки для математического ожидания (выборочного среднего) используется среднее арифметическое от наблюдаемых значений случайной величины:

(1.16)

Тогда выборочную дисперсию можно рассчитать по следующей формуле:

(1.17)

Для дисперсии в качестве несмещенной и состоятельной оценки используется величина:

(1.18)

Полученная оценка для дисперсии применяется для дальнейших вычислений доверительных интервалов.

1.3 Построение доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, соответствующих доверительной вероятности

Чтобы иметь представление о точности и надежности оценок (1.16 – 1. 18) в математической статистике используется понятие доверительного интервала. Пусть для некоторого параметра a (математического ожидания или дисперсии) получена несмещенная оценка μ. Назначим некоторую достаточно большую вероятность γ (доверительную вероятность) и найдем такое значение ε, при котором вероятность равна (1.19):

(1.19)

Равенство (1.19) означает, что с вероятностью γ интервал Iγ, который называется доверительным интервалом, накрывает неизвестное значение параметра a.

(1.20)

При построении доверительного интервала для математического ожидания используют то обстоятельство, что оценка (1.16) представляет собой сумму n независимых одинаково распределенных случайных величин X_i и, согласно центральной предельной теореме, при достаточно больших n ее закон распределения близок к нормальному закону. В этом случае доверительный интервал для оценки математического ожидания можно представить в виде

(1.21)

где tγ – квантиль нормального распределения, который определяется по статистическим таблицам.