Структура аффинного пространства над телом (стр. 8 из 19)

3) Для любой системы

взвешенных точек ℰ образ барицентра есть барицентр , где обозначает изоморфизм тел, ассоциированных с .

Применение аффинных реперов

Теорема 5.2. Пусть ℰ,

- аффинные пространства над телами , , - изоморфизм на , - аффинный репер в ℰ и - семейство точек , индексированное тем же множеством индексов .

Тогда существует единственное полуаффинное отображение

пространства ℰ в , ассоциированное с изоморфизмом , такое, что для всех .

Более того,

биективно (соответственно инъективно, сюръективно) тогда и только тогда, когда семейство есть аффинный репер (соответственно свободное семейство, семейство образующих) для .

Доказательство. Вернемся к теореме

, взяв одну из точек в качестве начала в ℰ, а соответствующую точку - в ; отображение определяется равенством

для любого конечного подмножества

и любой системы скаляров , таких, что, .

В частности, аффинное отображение ℰ в

определяется заданием образа аффинного репера из ℰ.

Приложение: уравнение аффинной гиперплоскости или ЛАМ

Опираясь на исследование, проведенное в параграфе II.6, легко получаем

Предложение 5.3. Пусть ℰ- аффинное пространство над телом

. Тогда

a) Если

ℰ

- непостоянное аффинное отображение, то - аффинная гиперплоскость в ℰ с направлением .

b) Обратно, если

- аффинная гиперплоскость в ℰ, то существует аффинное отображение ℰ

, такое, что , и все аффинные отображения ℰ в с этим свойством суть отображения , где .

Если ℰ- аффинное пространство конечной размерности

, то каждое ЛАМ размерности в ℰ определяется системой уравнений вида , где - аффинные отображения ℰ в , линейные части которых независимы.

Характеризация аффинных отображений

Теорема 5.4. Пусть ℰ

- два аффинных пространства над одним и тем же телом . Для того, чтобы отображение ℰ

было аффинным, необходимо и достаточно, чтобы

a) при

ℰ

ℰ

;

b) при

образ эквибарицентра любых трех точек ℰ был эквибарицентром их образов.

Доказательство (аналогичное случаю теоремы 4.8.).

a) При фиксированной точке

ℰ соотношение a) показывает, что для любого вектора направляющего пространства имеем

.

Отображение

удовлетворяет, следовательно, условию .

Чтобы доказать, что выполняется и условие

для любых , выберем такие , что , и , определим точки , условиями , . Применяя условие a), получим тогда ,

откуда

.

Можно также сформулировать теорему 5.4. так: отображение ℰ в

является аффинным тогда и только тогда, когда его ограничение на любую аффинную прямую в ℰ аффинно.

В дальнейшем мы дадим чисто геометрическую характеристику полуаффинных отображений.