Структура аффинного пространства над телом (стр. 7 из 19)

a) если

- любая прямая, соединяющая две точки , содержалась в ;

b) если

- эвибарицентр любых трех точек лежал в .

Доказательство. Нам уже известна необходимость этого условия. Для доказательства достаточности выберем в

точку и покажем, что есть ВПП пространства .

a) Предположив, что

, установим прежде всего, что условия и влекут .

Действительно, по предположению существует точка

, такая, что . Точка , определенная условием , принадлежит прямой (АВ) и, значит, , откуда следует, что .

Рассмотрим далее два любых вектора

и в и выберем (что возможно, так как не сводится к ). Точки и (см. рис. 1) принадлежат соответственно прямым (АВ) и (АС), а поэтому и . Следовательно, точка принадлежит , откуда . Итак есть ВПП в .

Рис. 1

b) Если

, то тривиальным образом влечет (так как может принимать только два значения 0, 1). Если , - два вектора из , то точка , определяемая условием , есть эквибарицентр , откуда и вытекает наше утверждение.

Аффинные и полуаффинные отображения

Определение 5.1. Пусть ℰ,

- два аффинных пространства, ассоциированных соответственно с векторными пространствами , .

Отображение

ℰ

называется полуаффинным (соответственно аффинным), если в ℰ существует такая точка , что отображение , полулинейно (соответственно линейно).

Предложение 5.1. Если в ℰ существует точка

, удовлетворяющая вышеуказанным требованиям, то им удовлетворяет любая точка ℰ и отображение не зависит от .

Доказательство. Для любой пары

ℰ имеем в силу линейности

,

что и доказывает требуемое.

Обозначения. Отображение

обозначается и называется полулинейной (соответственно линейной) частью .

Истолкование. Фиксируем в ℰ некоторую точку

и снабдим , векторными структурами, принимая за начало в ℰ точку , а в - точку . Тогда будет полуаффинным (соответственно аффинным) в том и только том случае, если - полулинейное (соответственно линейное) отображение ℰ_А в .

В частности, изучение полуаффинных (соответственно аффинных) отображений пространства ℰ в себя, допускающих неподвижную точку

, сводится к изучению полулинейных (соответственно линейных) отображений ℰ_А в себя.

Так обстоит дело в случае геометрий, проектирований и симметрий (см. ниже).

Важно заметить, что полуаффинные (соответственно аффинные) отображения полностью определяется своей полулинейной (соответственно линейной) частью и образом одной точки.

Если

, - два векторных пространства, то полуаффинное (соответственно аффинное) отображение и есть отображение вида , где полулинейно (соответственно линейно), а - постоянный элемент.

Непосредственные следствия. Если

ℰ

полуаффинно, то

1) Образ ЛАМ в ℰ есть ЛАМ в

.

2) Прообраз ЛАМ в

есть ЛАМ в ℰ или пустое множество.