Структура аффинного пространства над телом (стр. 4 из 19)

;

аффинными многообразиями с направлением

называются классы эквивалентности по отношению .

Существуют и другие способы определить ЛАМ пространства ℰ, но нам кажется, что данные выше определения ведут к наиболее простому способу изложения дальнейшего.

Случай векторного пространства.

Каждое векторное пространство

канонически снабжено аффинной структурой, так как действует на себе трансляциями; в этом случае нулевой вектор называется также ”началом” и

.

ЛАМ пространства

, проходящие через , суть векторные подпространства в ; ЛАМ, проходящие через точку , суть образы векторных подпространств при параллельном переносе .

Ради кратности ЛАМ, не проходящие через начало, будут называться собственно аффинными (поскольку они не являются ВПП в

).

Размерность линейного аффинного многообразия

Вернемся к случаю произвольного аффинного пространства ℰ; предшествующие рассмотрения позволяют определить размерность ЛАМ как размерность его направляющего ВПП. Отсюда появляются понятия: аффинной прямой (ЛАМ размерности 1) и аффинной плоскости (ЛАМ размерности 2). ЛАМ размерности

суть точки ℰ.

Аффинной гиперплоскостью называется ЛАМ, направляющее подпространство которого есть векторная гиперплоскость.

Пересечение линейных аффинных многообразий

Предложение 3. 3. Пусть

- семейство аффинных подпространств в ℰ и для каждого - направляющее подпространство для .

Если пересечение

непусто, то оно является аффинным подпространством в с направляющим .

Доказательство сразу получается из определения 3.1. При тех же обозначениях имеет место

Предложение 3.4. Для того, чтобы пересечение

двух ЛАМ в ℰ было непустым, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие точки и , что , и тогда

.

Доказательство. Если

, то для любых , имеем и . Таким образом, .

Обратно, если существуют

и , такие, что , то можно представить в виде , где , . Тогда точка , определяемая условием , принадлежит и, как легко видеть, . Это доказывает, что принадлежит также , а тем самым не пусто.

Из предложения 3.4. можно получить примеры ЛАМ с пустым пересечением, а также

Предложение 3.5. Если

, - аффинные подпространства в ℰ, направляющие которых взаимно дополняют друг друга в , то и имеют единственную общую точку.

Параллелизм

Определение 3.3. Говорят, что два линейных аффинных многообразий

, вполне параллельны, если они имеют одно и то же направляющее подпространство: .

Более общо, говорят, что

параллельно , если направляющие пространства , многообразий , удовлетворяют включению .

Можно проверить, что отношение ”

вполне параллельно (соответственно параллельно) ” равносильно существованию трансляции пространства ℰ, такой, что (соответственно ).

Аффинное подпространство, порожденное подмножеством

пространства ℰ

Предположение 3.6. Если

- непустое подмножество в ℰ, то существует единственное аффинное подпространство в ℰ, обозначаемое , содержащее и обладающее следующим свойством:

Любое аффинное подпространство ℰ, содержащее

, содержит и

.

Говорят, что

порождено .

Коротким способом доказательства предложения 3.6. является применение предложения 3.3.:

есть пересечение всех ЛАМ, содержащих . Недостаток этого рассуждения в том, что приходится привлекать семейство ”всех ЛАМ, содержащих ”, о котором мало что известно и которое обычно даже несчетно!