Структура аффинного пространства над телом (стр. 2 из 19)

Действие слева группы

на определяется с помощью ; это действие, очевидно, транзитивно. Фактормножество является однородным пространством относительно этого действия.

Мы увидим, что всякое однородное пространство приводится (при помощи биекции) к пространству такого вида.

Теорема 1.1. Пусть

- однородное пространство, ассоциированное с группой , и для любого пусть - группа изотропии . Тогда существует единственная биекция факторпространства на , такая, что для всех выполнено , где - каноническая проекция и - действие на .

Доказательство. Соотношение

равносильно и, значит, или ; следовательно, отображение , переносится на фактормножество и представляется в виде , где - биекция.

Специальный случай

Если группа

действует на просто транзитивно, то группы изотропии тривиальны; для каждой точки отображение , является биекцией, удовлетворяющей условию .

Эта биекция

позволяет перенести на

структуру группы

, которая, однако, будет зависеть от выбора точки

, т. е. образа нейтрального элемента. Говоря нестрого,

допускает структуру группы, изоморфной

, при произвольном выборе нейтрального элемента.

Так и будет обстоять дело в случае ”аффинной структуры”.

2.Аффинные пространства

Определение 2.1. Пусть

- векторное пространство над произвольным телом . Аффинным пространством, ассоциированным с , называется множество ℰ, на котором определено просто транзитивное действие абелевой группы .

Это действие записывается обычно в виде

ℰ

ℰ, .

Для любого

биекция

ℰ

ℰ, называется трансляцией на вектор ; далее, для некоторой пары элементов ℰ единственный вектор , такой, что , обозначается .

Чтобы отличить элементы ℰ (называемые точками) от элементов

(называемых векторами), мы будем преимущественно обозначать ”точки” прописными буквами латинского алфавита, такими, как , а ”векторы -строчными, например ; греческие буквы предназначаются для ”скаляров”.

Можно привести два равносильных данному определению 2.1. обычных определения, не опирающихся на понятие действия группы.

Определение 2.2. Аффинным пространством, ассоциированным с

, называется множество ℰ, снабженное семейством биекций , таких, что

a)

_ℰ и ;

b) для любой пары

ℰ

ℰ существует единственный вектор , такой, что .

Определение 2.3. Аффинным пространством, ассоциированным с

, называется множество ℰ, снабженное отображением ℰ

ℰ , обозначаемым , таким, что

a) для каждого

ℰ отображение ℰ , биективно;