Структура аффинного пространства над телом (стр. 17 из 19)

В). Если

сводится к одной точке, то меняя ролями и и применяя результат Б), мы видим, что также сводится к точке.

Лемма 5. Если

пара точек в , таких, что множества ,

непусты, то

и - ЛАМ с общим направлением.

Доказательство. По лемме 2,

и суть ЛАМ в . Предполагая, что , фиксируем точку в и точку в ; параллельный перенос на вектор обозначим через . Для любой точки прямая параллельна прямой , и поскольку образ прямой сводится к одной точке , то образ прямой сводится к одной точке . Таким образом, влечет и имеет место включение .

Меняя ролями

и , получим включение , откуда . Итак, , имеют общее направление.

Лемма 6. Обозначим через

общее направление непустых ЛАМ в вида , где , и пусть - факторпространство по отношению эквивалентности , определенному условием .

Тогда

имеет единственную аффинную структуру, такую, что каноническая проекция является аффинной.

Доказательство. Выбор начала

в сводит дело к случаю факторпространства векторного пространства По его векторному подпространству , и оказывается, что достаточно применить теорему II.4.3, приняв точку за начало в .

Отметим, что

является пространством орбит действия группы трансляций на ; это есть множество ЛАМ с направлением .(см. §2).

Лемма 7. В обозначениях леммы 6 отображение

представляется в виде , где - инъективное полуаффинное отображение; отсюда вытекает, что полуаффинно.

Доказательство. Существование и инъективность

вытекают из того, что соотношение равносильно (см. лемму 5), и тем самым . Для доказательства полуаффинности покажем, что оно удовлетворяет условиям теоремы 8.1.

Пусть

– произвольная аффинная прямая , порожденная двумя различными элементами из . Без труда проверяется, что есть ЛАМ в , порожденное .

По лемме 3,

есть ЛАМ, порожденное ; итак (в силу инъективности ), является аффинной прямой .

Наконец,

не может сводиться к одной точке или прямо, так как тогда к точке или прямой сводилось бы и , что противоречит условию 2). Поэтому .

Отсюда следует, что

удовлетворяет условиям 1) и 2), наложенным на , при условии замены на . Лемма 4 показывает тогда, что образы при отображении двух параллельных прямых , из - две параллельные прямые. Наконец, удовлетворяет всем условиям теоремы 8.1 (после замены на ). Следовательно, полуаффинно и так же обстоит дело с .