Структура аффинного пространства над телом (стр. 16 из 19)

1). Образ любой прямой в

был прямой в , либо сводился к одной точке.

2). Аффинное подпространство в

, порожденное , имело размерность .

Мы подразделим доказательство этой теоремы на семь лемм; в каждой из них предполагается, что

удовлетворяет условиям 1) и 2).

Лемма 1. Если

есть ЛАМ в , то - ЛАМ в .

Доказательство. Пусть

и - две различные точки в . Тогда прямая есть по условию 1) образ прямой ; так как прямая содержится в , прямая содержится в . Результат теперь вытекает из теоремы 4.8.

Лемма 2. Если

- ЛАМ в и множество непусто, то оно является ЛАМ в .

Доказательство. Результат очевиден, если

сводится к одной точке. В противном случае для любой пары различных точек , прямая содержится в согласно 1). Таким образом, прямая содержится в и теорема 4.8 показывает, что есть ЛАМ.

Лемма 3. Для любой непустой части

пространства

. (1)

Доказательство.

есть ЛАМ в , содержащее ; по лемме 1, есть ЛАМ в , содержащее . Отсюда следует включение

.

Аналогично, по лемме 2,

есть ЛАМ в , содержащее , а потому и ; имеет место включение ; применение отображения дает .

Окончательно получаем равенство (1).

Лемма 4. Пусть

- пара параллельных прямых в . Если сводится к точке, то же имеет место и для . Если - прямая, то и - прямая, параллельная .

Доказательство. Мы можем предположить, что

. Тогда есть ЛАМ размерности 2 в , порожденное двумя точками , одной из прямых и точкой другой прямой; по леммам 2и 3, есть ЛАМ размерности .

А). Покажем сначала, что

либо .

Допустим, что

и действительно имеют общую точку. Тогда найдутся точки и , такие, что . Выбирая и полагая по-прежнему , получим с помощью леммы 3, что

и аналогично

,

откуда

.

Поскольку сформулированное утверждение при

очевидно, будем далее полагать , т.е. считать, что и не имеют общих точек.

Б). Предположим, что

- прямая в и ; тогда имеет размерность 2.

Если бы на прямой

существовали две точки , такие, что , то для любой точки мы имели бы и , и тогда не было бы двумерным вопреки предположению. Отсюда следует, что - прямая.

Значит,

и - две прямые без общих точек, лежащие в одном ЛАМ размерности 2, т.е. параллельные.