Структура аффинного пространства над телом (стр. 13 из 19)

Доказательство.

А) Если

линейно и , то для любых точек из имеем и . Ограничения на аффинно с линейной частью , .

Б) Обратно, пусть

- аффинное отображение. Фиксируем точку в и обозначим через (соответственно ) векторную прямую в (соответственно ), порожденную (соответственно ) (рис 4). Тогда , , и искомое линейное отображение должно удовлетворять следующим двум условиям:

1.

,

2. Ограничения

на равно линейной части .

Но существует единственное линейное отображение

из в , удовлетворяющее этим условиям ( определено своими ограничениями на дополнительные ВПП и пространства ); тогда ограничение на - есть аффинное отображение с той же линейной частью, что и , и принимающее в то же значение, что и , а тем самым равное , откуда вытекает доказываемый результат.

Существует, следовательно, биективное соответствие между аффинными отображениями

в и линейными отображениями в , удовлетворяющими условию .

С другой стороны, если

, и , это соответствие сохраняет композицию отображений (композиция ограничений двух отображений совпадает с ограничением их композиции).

Рис.4

Наконец, если

- автоморфизм и - аффинная гиперплоскость в , то включение влечет равенства . В самом деле, есть аффинная гиперплоскость в , и достаточно применить следствие теоремы II 6.2, вернувшись к векторному случаю путем замены начала в .

Т.о. мы можем сформулировать

Предложение 7.3. Пусть

- векторное пространство, - аффинная гиперплоскость в , не проходящая через начало. Существует изоморфизм группы аффинных биекций на стабилизаторе в (подгруппу , состоящую из изоморфизмов , для которых ).

Эти результаты применимы, в частности, к случаю, когда,

, - векторные продолжения аффинных пространств , , а , - образы , при канонических погружениях , : всякое аффинное отображение в , отождествляется с линейным отображением пространства в пространство , удовлетворяющим требованию , и группа аффинных биекций отождествляется с подгруппой , сохраняющей аффинную гиперплосклость

Случай конечной размерности.

Если аффинное пространство

имеет конечную размерность , то в можно выбрать базис так, что при и . Тогда есть декартов репер в с началом (рис 4).