Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (стр. 3 из 4)
2. За допомогою величини
, відомого n і таблиці 6.2 визначають надійну ймовірність.Інтегральна формула Лапласа
Надійним називається інтервал значень хі у який попадає правдиве значення хд величини, що вимірюється, попадає в даний інтервал.
Надійною ймовірністю ( вірогідністю) вимірювання називається імовірністю Рд того, що правдиве значення хд величини, що вимірюється попадає в даний надійний інтервал.
Ця величина визначається в долях одиниці або в процентах. Необхідно встановити ймовірність того, що хд попаде в зону а<xд<в. Надійна імовірність Рд описується виразом:
(6.30)де Ф(t) – функція Лапласса, аргументом якої є відношення µ до середньоквадратичного σ, тобто
t=µ/ σ (6.31)
µ=b-x; µ= - (a-x), t – гарантований коефіцієнт.
Функція Ф(t) – це інтегральна функція Лапласа:
(6.32)Її можна записати так:
(6.33)Числові значення Ф(t), приведені в додатку табл. I.
Коли задані межі появи події А(m1 i m2 ), які відрізняються від np на [x], то інтегральна формула Лапласа набуде такого вигляду:
(6.34)У цьому випадку:
(6.35)Застосовуючи інтегральну формулу Лапласа, слід врахувати, що функція Лапласа – непарна функція тобто, що:
F(-a)= -F(a)
Виходячи з того і взявши до уваги, що:
(6.36)можна записати:
(6.37)Отже функція Лапласа
виражає ймовірність того, що випадкове відхилення t буде в межах –t1 ≤ t ≤ t1. Величина цієї імовірності чисельно дорівнює площі між кривою Лапласа 
віссю ot і ординатою t=-t1; t=t1( 6.2 ). 
-t 0 t t
Щоб знайти ймовірність P(m1 ≤ m ≤ m2), треба:
1) визначити відхилення:
x1=m1-np i x2=m2-np;
2) знайти одиницю стандартного відхилення:
3) знайти величини:
4) за таблицею (додаток 1) знайти:
F(t1) i F(t2)
Після цього імовірність визначаємо за формулою ( 6.36 )
Інтервал ймовірностей широко використовується в розрахунках, що пов’язані із застосуванням методів вибірок, зокрема, коли треба:
1) оцінити результати вибірки з певною імовірністю;
2) визначити найменшу чисельність вибірки, яка забезпечує потрібну точність;
3) визначити границі відхилень генеральної середньої від вибіркової.
Метод виключення грубих помилок
При вимірюванні один із результатів різко відрізняється від інших, виникає підозра, що допущена груба помилка.
Позначимо значення, яке відрізняється від ряду інших вимірів – статистичного ряду –Х*, а всі останні результати Х1, Х2..., Хn, підрахуємо середнє арифметичне:
і порівняємо абсолютну величину різниці 
х* - 
звеличиною 
. Для отриманого відношення 
підрахуємо ймовірність 1-2Ф(t) за допомогою таблиці I (додаток I ). Може бути два випадки:
1). Якщо, відношення, що розглядається, буде мати значення не менше ніж t, при умові, що значення х* не має грубої помилки, що помилка результату х* є випадковою.
2).Якщо підрахована таким чином ймовірність буде дуже малою, то значення, яке “вискакує” має грубу помилку і його необхідно виключити з ряду. Яку ймовірність рахувати дуже малою, залежить від конкретних умов розв’язку задачі; якщо вибрати (призначити) дуже низький рівень малих ймовірностей, то грубі помилки можуть залишитися, якщо ж взяти цей рівень невизначено великим, то можна виключити результати із випадковими помилками, необхідними для правильної обробки результатів вимірювання. Взагалі приймають один з трьох рівнів малих ймовірностей:
- 5% рівень (виключаються помилки, ймовірність появи яких менше 0,05);
- 1% рівень (виключаються помилки, ймовірність появи яких менше 0,01);
- 0,1% рівень (виключаються помилки, ймовірність появи яких менше 0,001);
При вибраному рівні a малих ймовірностей, значення х* , яке “вискакує” має грубу помилку, якщо для відповідного відношення t ймовірність
, тоді підкреслюють, що х* має грубу помилку з надійністю висновку 
, значення 
, для якого 
, і, значить, 
, називається критичним значенням відношення t при надійності Р. Так, якщо 
(1% рівень), то Р=0,99, критичне значення 
(див. Додаток I), і як тільки відношення t перевищить це критичне значення, ми можемо бракувати (значення х*, яке “вискакує” з надійністю висновка 0,99). Підкреслимо, що цей спосіб застосовується тоді, коли величина d середньої квадратичної помилки точно відома раніше.Найбільш простий спосіб вилучення із статистичного ряду х*, яке різко виділяється є правило трьох сігм. Розкид випадкових величин від середнього значення не перевищує
хmax,min=
(6.38).Більш вірогідний є метод, який базується на використанні надійного інтервалу. Нехай є статистичний ряд малої вибірки, який підчиняється закону нормального розподілу. При наявності грубих помилок критерій їх появи:
; 
; (6.39)де хmax, xmin найбільше і найменше значення із n вимірів.
В таблиці 6.3 наведенні максимальні значення
, які виникають внаслідок статистичного розкиду. Якщо 
, то значення 
необхідно виключити із статистичного ряду, як грубу помилку. При 
виключається величина 
. Після виключення грубих помилок визначають нові значення 
і 
із 
або 
вимірів.Таблиця 6.3
| n | bmax при Рд | n | bmax при Рд | |||||
| 0.90 | 0.95 | 0.99 |  0.90 | 0.95 | 0.99 | |||
| 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 | 1.41 1.64 1.79 1.89 1.97 2.04 2.10 2.15 2.19 2.23 2.26 2.30 | 1.41 1.69 1.87 2.00 2.09 2.17 2.24 2.29 2.34 2.39 2.43 2.46 | 1.41 1.72 1.96 2.13 2.26 2.37 2.46 2.54 2.61 2.66 2.71 2.76 | 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 | 2.33 2.35 2.38 2.40 2.43 2.45 2.54 2.61 2.67 2.72 2.76 2.8 | 2.49 2.52 2.55 2.58 2.60 2.62 2.72 2.79 2.85 2.90 2.95 2.99 | 2.80 2.84 2.87 2.90 2.93 2.96 3.07 3.16 3.22 3.28 3.33 3.37 | |
Третій спосіб: задається надійна ймовірність РД із таблиці 6.4 в залежності від
знаходять коефіцієнт q. Визначають гранично допустиму абсолютну похибку окремого виміру 
(6.40).Якщо
, то 
виключається. Визначають відносну похибку результатів серії вимірювань при заданій надійній ймовірності РД;