Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях (стр. 2 из 4)

ПРИКЛАД

За даними прикладу попереднього параграфа ( табл.6.2) обчислити дисперсію та середнє квадратичне відхилення.

РОЗВ’ЯЗАННЯ

Дисперсію обчислюємо за формулою ( 6.14 ) :

σ²=(230-279)²·0,075+ (254-279)²·0,125+ (262-279)²·0,25+ (274- -279)²·0,075+ (281-279)²·0,175+ (282-279)²·0,25+ (285-279)²·0,025+ +(302-279)²·0,1+ (307-279)²·0,1+ (308-279)²·0,05=444

Середнє квадратичне відхилення обчислюємо за формулою ( 6.19 ) :

За міру розсіяння можна взяти модуль імовірностей , який визначається за формулою:

(6.20)

Інколи розсіяння нормальної кривої характеризують мірою точності, яка є оберненою величиною до модуля ймовірностей:

(6.21)

Для великої вибірки і нормального закону розподілу загальною оціночною характеристикою вимірювання є дисперсія й коефіцієнт варіації.

, (6.22)

Дисперсія характеризує однорідність вимірювання. Чим вище Д, тим більший розкид вимірів. Коефіцієнт варіації характеризує мінливість. Чим вище Кв, тим більша мінливість вимірювань відносно середніх значень. Кв оцінює також розкид при оцінюванні декількох вибірок.

В цій задачі можливий другий варіант. На основі визначених даних встановлена певна (надійна) ймовірність Р_д. Дуже часто її приймають рівною 0,9; 0,95; 0,9973. Необхідно встановити точність вимірювання, тобто надійний інтервал 2µ.

Так як

, то по таблиці можна визначити половину надійного інтервалу:

(6.23),

де Ф(Р_д) – аргумент функції Лапласа, або при n<10 Стьюдента (табл. 6.2). Надійний інтервал характеризує точність вимірювання даної вибірки, а надійна ймовірність – вірогідність вимірювання.

Приклад.

Виконано 30 вимірювань міцності одежи ділянки автомобільної дороги. При цьому середній модуль пружності одежи Е_э=170 МПа. Визначене значення середньоквадратичного відхилення є

=3.1 МПа. Визначити точність і вірогідність експерименту.

Точність вимірювання визначаємо для різних рівнів вірогідної ймовірності, прийнявши, відповідно значення argФ(t) із таблиці 6.1: Р_д=0,9; 0,95; 0,9973; µ=

;

µ=

;

µ=

МПа.

Отже для даного засобу і методу надійний інтеграл зростає приблизно в два рази, якщо Р_д збільшити тільки на 10%. Необхідно визначити вірогідність вимірів для встановленого надійного інтервалу, наприклад

за формулою (6.5) .

За табл. 6.1 для 2.26 визначаємо

. Це означає, що в заданий надійний інтервал із 100 вимірювань не попадає тільки три.

Значення 1 - Ф(t) називають рівнем значності. Із нього виходить, що при нормальному законі розподілу похибка, яка перевищує надійний інтервал, буде зустрічатися один раз із n_и вимірів:

(6.24)

або вибірковувати одне із n_и вимірів.

Встановлення мінімальної кількості вимірів.

Всі експериментальні дослідження в техніці базуються на вимірах. Задача зводиться до встановлення мінімального, але достатнього об’єму вибірки (числа вимірювань) N_min при заданих значеннях надійного інтервалу

і надійної ймовірності. При виконанні вимірювання необхідно знати їх точність Δ, яку характеризують δ₀ – середньоарифметичне значення середньоквадратичного відхилення :

; (6.25)

- середня помилка.

Надійний інтервал помилки вимірювання Δ визначається аналогічно, як і для вимірювань

. За допомогою t легко визначити надійну ймовірність помилки вимірювання з таблиці 6.1.

В дослідженнях за заданою точністю Δ і надійною ймовірністю визначають мінімальну кількість вимірювань, яка гарантує потрібні значення Δ і Ф(t).

Аналогічно рівнянню (6.23) з урахуванням (6.25) запишемо

(6.26)

звідси, приймаючи

N_min=n, будемо мати

(6.27)

- коефіцієнт варіації (мінливості), %;

D - точність вимірювання, %.

Для визначення

можна прийняти таку послідовність:

1. Нехай n – кількість вимірів від 20 до 50, в залежності від складності дослідів.

2. Визначають середнє квадратичне відхилення m (6.21).

3. Встановлюють необхідну точність вимірювань m, D, яка повинна бути не менше точності приладу.

4. Установлюють нормативне відхилення t, значення якого задають, наприклад при великій точності вимірювань t=3.0, при малій – t=2.0, можна прийняти t=2.5.

5. Із (6.26) визначають

. В процесі експерименту число вимірів не повинно бути менше .

Приклад

при прийманні споруди, комісія в якості одного із параметрів, вимірює її ширину. Необхідно виконати 25 вимірів, допустиме відхилення параметра

м. Необхідно визначити, з якою вірогідністю комісія оцінює даний параметр. Попереднє обчислення значення м.

Допустиме відхилення параметра

м. з рівняння (6.27) запишемо . ; . У відповідності з таблицею (6.). Надійна ймовірність для це низька ймовірність. Похибка перевищує надійний інтервал м, згідно формули (6.) ,буде зустрічатися один раз із , тобто із чотирьох вимірювань. Це не допустимо. Вирахуємо мінімальну кількість вимірів, з надійною ймовірністю Р_Д , рівною 0,9 і 0,95. За формулою (6.27) маємо виміри при Р_Д =0,90 і 64 виміри при Р_Д =0,95. Результати вимірювань за допомогою і справедливі при . Для знаходження границь надійного інтервалу при малих значеннях застосовують метод запропонований в 1908 році англійським математиком

В.С. Гессетом (псевдонім Стьюдент). Криві розподілення Стьюдента у разі

переходять в криві нормального розпреділення (рис. 6.1).

Для малої вибірки надійний інтервал

(6.28)

де

- коефіцієнт Стьюдента, який приймається з табл. 6.2 в залежності від значення надійної ймовірності Ф_ст знаючи m_ст, можна визначити дійсне значення величини, що вивчається для малої вибірки:

(6.29).

Можлива інша постановка задачі. Маючи n відомих вимірів малої вибірки необхідно визначити необхідну ймовірність Р_Д за умовою, що похибка середнього значення не вийде за межі

.

Задачу розв’язують у такій послідовності:

1. Визначають середнє значення

, і .