Гамма функции (стр. 2 из 4)

и так как интеграл

сходится, то интеграл сходится равномерно относительно на . Аналогично для существует такое число , что для всех выполняется неравенство . При таких и всех получим , откуда в силу признака сравнения следует , что интеграл сходится равномерно относительно на . Наконец , интеграл

в котором подынтегральная функция непрерывна в области

, очевидно, сходится равномерно относительно на . Таким образом , на интеграл

13

сходится равномерно , а, следовательно , гаммма функция бесконечно дифференцируема при любом

и справедливо равенство

.

Относительно интеграла

можна повторить теже рассуждения и заключить, что

По индукции доказывается , что Г-функция бесконечно дифференцируема при

и для ее я -ой производной справедливо равенство

Изучим теперь поведение

- функции и построим єскиз ее графика .

Из выражения для второй производной

-функции видно, что для всех . Следовательно, возрастает. Поскольку , то по теореме Роля на сегменте [1,2]производная при и при , т. е. Монотонно убывает на и монотонно возрастает на . Далее , поскольку , то при . При из формулы следует , что при .

14

Равенство

, справедливое при , можно использовать при распространении - функции на отрицательное значение .

Положим для

, что . Правая часть этого равенства определена для из (-1,0). Получаем, что так продолженная функция принимает на (-1,0) отрицательные значения и при , а также при функция .

Определив таким образом

на , мы можем по той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что при и . Продолжая этот процесс, определим функцию , имеющею разрывы в целочисленных точках (см. рис.1)

Отметим еще раз, что интеграл

определяет Г-функцию только при положительных значениях

, продолжение на отрицательные значения осуществлено нами формально с помощью формулы приведения .

15

(рис.1)

4. Вычисление некоторых интегралов. 16

Формула Стирлинга

Применим гамма функцию к вычислению интеграла:

где m > -1,n > -1.Полагая , что

,имеем

и на основании (2.2) имеем

(3.1)

В интеграле