Аналитическая геометрия 2 (стр. 6 из 6)

Тогда уравнение искомого перпендикуляра будет:

Ответ:

Пример 13. Задана плоскость Р:

и прямая L:

, причем LÎР.

Требуется найти:

a) угол между прямой и плоскостью;

b) координаты точек пересечения прямой и плоскости.

Решение.

a)

, , ,

b) Найдем точку пересечения прямой и плоскости.

, или параметрически х=1, у=2t, z=t-1.

Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости, найдем значение t: 1+2t-t+1+1=0; t=-3. Тогда координаты точки пересечения прямой и плоскости будут: х=1, у=-6, z=-4.

Ответ: а)

b) (1; -6; -4).

Пример 14. Определить косинус угла между прямыми:

Решение.

Найдем направляющие векторы данных прямых

,

Ответ:

Пример 15. Найти проекцию точки А(4; -3; 1) на плоскость

Решение.

8) Найдем уравнение перпендикуляра, проходящего через точку А(4; -3; 1), к плоскости

Получим

.

9) Найдем точку пересечения прямой и данной плоскости. Для этого подставим х=t+4, у=2t, z=-t+1 в уравнение плоскости. Будем иметь уравнение относительно параметра t: t+4+2(2t-3)-(t+1)-3=0; 6t=6; t=1.

10) Подставим найденное значение параметра t=1 в параметрическое уравнение прямой, получим х₀=5, у₀=-1, z₀=0.

Ответ: (5; -1; 0).

Пример 16. Найти расстояние от точки М(2; -1; 3) до прямой

.

Решение.

; найдем

Ответ:

Пример 17. Заданы скрещивающиеся прямые L₁:

и

L₂:

Найти расстояние d(L₁; L₂) между прямыми и написать уравнение общего перпендикуляра L к этим прямым.

Решение.

Найдем уравнение плоскости Р, проходящей через прямую L₁, параллельную L₂. Точка М₁(0; 1; -2) лежит на прямой L₁ и, следовательно, принадлежит искомой плоскости Р. В качестве нормального вектора к этой плоскости возьмем вектор

Уравнение плоскости Р:

или в общем виде

Расстояние d(L₁; L₂) равно расстоянию от любой точки прямой L₂, например, точки М₂(-1; -1; 2), до данной плоскости Р.

Для того, чтобы составить уравнение общего перпендикуляра L, найдем уравнение плоскостей Р₁ и Р₂, проходящих через заданные L₁ и L₂ сооответсвенно и перпендикулярных плоскостей Р. Имеем: М₁(0; 1; -2)ÎР₁ и

откуда Р₁:

Аналогично, М₂(-1; -1; 2)ÎР₂ (^Р) и

откуда Р₂:

Так как L=P₁ÇP₂, то - общее уравнение прямой L.

Ответ:

Пример 18: Составить уравнение прямой, проходящей через точку М₀(2; 1; 0) и пересекающей две прямые

и .

Решение.

Искомую прямую можно рассматривать как прямую, по которой пересекаются две плоскости, проходящие через данную точку и одну из данных прямых.

Уравнения этих плоскостей:

,

или

- искомые уравнения прямой.

Ответ:

Библиографический список

1. Писменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: [ в 2 ч.]. Ч. 1 / Д. Т. Писменный. – 6-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2006. – 288 с.

2. Соболь Б. В., Мишняков Н. Т., Поркшеян В. М. Практикум по высшей математике. – Ростов Н/ Д: изд-во «Феникс», 2004. – 640 с.

Решение:

1) проверить, что заданные высоты не проходят через известную вершину C;
2) найти угловые коэффициенты данных прямых;
3) найти угловые коэффициенты сторон треугольника BC и AС, исходя из того, что прямые, на которых лежат эти стороны, перпендикулярны данным прямым (высотам):

, ;

4) составить уравнения этих сторон, зная их угловые коэффициенты и точку С, через которую они проходят;
5) найти остальные вершины треугольника, решая совместно уравнения соответствующих высот и сторон треугольника;
6) найти уравнение оставшейся стороны AB треугольника по двум точкам - найденным вершинам А и В.