Аналитическая геометрия 2 (стр. 5 из 6)
Ответ:
Пример 4. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М1(1; -1; -3) параллельно прямой
.Решение.
Возьмем на искомой прямой точку М(x; y; z) с текущими координатами, тогда векторы
и 
будут коллинеарные, т.е. 
. Отсюда получаем 
Ответ:
Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(2; -2; 1) и прямую
Решение.
По уравнениям данной прямой находим точку прямой М2(1; 2; -3) и направляющий вектор прямой
.  |
Получаем три вектора, отложенных в искомой плоскости:
, 
.По условию компланарности трех векторов имеем:
или 
Ответ: 
Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
перпендикулярно к плоскости 
Решение.
 |
Три вектора
, 
компланарны только тогда, когда 
или 
Ответ: 
Пример 7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(1; -2; 1) перпендикулярно прямой
Решение.
 |
Так как искомая плоскость перпендикулярна прямой, заданной общими уравнениями, то нормальные векторы данных плоскостей можно отложить вместе с вектором
в одной плоскости. Следовательно, векторы 
, 
, 
компланарны. По условию компланарности трех векторов имеем: 
или 
Ответ: 
Пример 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(1; 1; -1) и М2(3; 4; 1) параллельно прямой
.Решение.
Возьмем на искомой плоскости точку с текущими координатами, получим вектор
.  |
Векторы
, 
, и компланарны. По условию компланарности трех векторов 
, 
, 
имеем: 
или 
Ответ: 
Пример 9. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М0(2; 3; 1) на плоскость 
Решение.
Нормальный вектор
данной плоскости будет по условию направляющим вектором прямой, проходящей через точку М0(2; 3; 1). Её уравнение 
Ответ:
.Пример 10. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М1(3; 2; 1) на прямую
.Решение.
1) Составим уравнение плоскости, проходящей через данную точку М1(3; 2; 1) перпендикулярно данной прямой (или перпендикулярно вектору
- направляющему вектору прямой): 
или 
2) Составим уравнение плоскости, проходящей через данную точку и данную прямую. На данной прямой возьмем точку М2(0; 0; -3). Тогда надо найти вторую плоскость, проходящую через точки М1(3; 2; 1) и М2(0; 0; -3), и параллельно направляющему вектору данной прямой
. Имеем 
. Следовательно, уравнение второй плоскости 
или 
Найденные плоскости пересекаются по прямой l, которая проходит через данную точку и перпендикулярна данной прямой, поэтому уравнения
и будут уравнениями прямой l – искомого перпендикуляра.Ответ:
Пример 11. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М0(-4; 3; 0) и параллельно прямой
Решение.
Найдем направляющий вектор прямой
,
Тогда уравнение искомой прямой есть 
.Ответ:
.Пример 12. Найти прямую, проходящую через точку М0(-4; 3; 0) и перпендикулярно к прямым
и 
.Решение.
 |
Вычислим направляющий вектор перпендикуляра к плоскости, проходящей через прямую параллельно другой прямой.