Аналитическая геометрия 2 (стр. 4 из 6)
Þ 
Тогда
или 
Ответ:
Пример 11. Докажите, что четыре точки А(1; 2; -1), В(0; 1; 5), С(-1; 2; 1), D(2; 1; 3) лежат в одной плоскости.
Решение.
Рассмотрим векторы
, 
, 
.Если они компланарны, то данные точки лежат в одной плоскости.  |
Тогда
Ответ: данные точки лежат в одной плоскости.
Пример 12. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(4; 3; 2) и отсекает на координатных осях положительные отрезки одинаковой длины.
Решение.
Уравнение плоскости в отрезках:
По условию а=b=c>0. Тогда уравнение плоскости можно записать 
Так как точка М1(4; 3; 2) лежит в этой плоскости, то её координаты удовлетворяют уравнению: 4+3+2=а, а=9. Следовательно, 
Ответ:
Пример 13. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей 
параллельно вектору
Решение.
Векторы
и 
- нормальные векторы данных плоскостей. 
Найдем их векторное произведение:
В качестве направляющего вектора прямой пересечения плоскостей примем вектор
Возьмем какую – нибудь точку на этой прямой, например, М1(х; у; 0), тогда
Û М1( 
).Так как векторы
компланарны, то 
Þ 
Ответ: 
Прямая и плоскость в пространстве
1)
каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М0(x0; y0; z0) параллельно направляющему вектору 
2)
уравнение прямой, проходящей через две данные точки М1(x1; y1; z1) и М2(x2; y2; z2); 
3) уравнения
параметрическое уравнение прямой в пространстве.4) Пусть даны две прямые, заданные каноническими уравнениями
L1:
,L2:
.За угол φ между прямыми принимают угол между их направляющими векторами
: 
, или в координатной форме
.5)
условие перпендикулярности двух прямых L1 и L2.6)
условие параллельности двух прямых L1 и L2 в пространстве.7) Общие уравнения прямой в пространстве
где коэффициенты А1, В1, С1 не пропорциональны коэффициентам А2, В2, С2. В данном случае прямая задана как линия пересечения плоскостей.
Пример 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямые:
L1:
, L2: 
.Решение.
Обозначим точки, через которые проходят прямые L1 и L2 - М1(2; -1; 3) и М2(1; 2; -3). Им соответствует вектор
 |
Возьмем на искомой плоскости точку М(x; y; z) с текущими координатами, получим вектор
. Таким образом, три вектора 
и направляющий вектор прямой 
компланарны. По условию компланарности трех векторов имеем 
или 
Ответ: 
Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
перпендикулярно плоскости 
Решение.
, 
. Данная прямая действительно перпендикулярна данной плоскости: 
Следовательно, по условию задачи будут удовлетворять все плоскости, принадлежащие пучку плоскостей, проходящих через эту прямую.
Ответ:
Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(1; 2; -3) параллельно прямым
, 
.Решение.
Отложим в искомой плоскости точки М1(1; 2; -3), М(x; y; z) и векторы
, 
. 
Тогда три вектора
и 
будут компланарны. По условию компланарности трех векторов будем иметь: 
, т.е.