Аналитическая геометрия 2 (стр. 3 из 6)
По условию
Ответ: 
Пример 2. Даны две точки М1(3; -1; 2) М2(4; -2; -1). Составить уравнение плоскости, проходящей через М1 перпендикулярно вектору
Решение.
По условию вектор
является нормальным вектором искомой плоскости 
Уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору 
есть 
или
Ответ: 
Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(3; 4; -5) параллельно двум векторам
и 
Решение.
Отложим векторы
и 
в плоскости, проходящей через точку М1, и возьмем на искомой плоскости точку М(x; y; z) с текущими координатами.  |
Получим, что три вектора
, 
лежат в одной плоскости, т.е. они компланарны.Условие компланарности есть равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов.
Ответ: 
Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(2; -1; 3) и М2(3; 1; 2) параллельно вектору
Решение.
Отложим вектор
и точку М(x; y; z) с текущими координатами в плоскости, проходящей через точки М1 и М2.  |
Получим компланарные векторы
Следовательно, по условию компланарности трех векторов будем иметь: 
или 
Ответ:
Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точку М1(3; -1; 2), М2(4; -1; -1) и М3(2; 0; 2).
Решение.
Возьмем на плоскости точку с текущими координатами М(x; y; z), будем иметь векторы
 |
Эти векторы по условию компланарны. Условие компланарности есть равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов:
или 
Ответ: 
Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(3; -2; 7) параллельно плоскости 
Решение.
Так как искомая плоскость и данная – параллельны, то у них общий нормальный вектор. Таким образом, получим: через данную точку М1 провести плоскость, перпендикулярно данному вектору
Ответ:
Пример 7. Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям: 
Решение.
Так как искомая плоскость перпендикулярна плоскостям 
и
, то нормальные векторы 
и 
и вектор 
(М – точка с текущими координатами) – компланарны. Следовательно, 
или 
Ответ:
Пример 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки М1(1; -1; -2) и М2(3; 1; 1) перпендикулярно к плоскости 
Решение.
Так как искомая плоскость перпендикулярна плоскости 
, то нормальный вектор
отложим в плоскости точек М1 и М2.  |
Возьмем на искомой плоскости ещё точку с текущими координатами, получим векторы:
Три вектора
и 
- компланарны, поэтому 
или 
Ответ: 
Пример 9. Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось Оу и точку М2(1; 4; 3).
Решение.
Так как плоскость проходит через ось Оу, то её уравнение можно взять в виде
. Плоскость 
проходит через точку М2(1; 4; 3), значит, координаты точки удовлетворяют уравнению. Получаем: , 
к=-3, 
Ответ: 
Пример 10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1(7; 2; -3) и М2(5; 6; -4) параллельно оси Ох.
Решение.
Уравнение плоскости, параллельной оси Ох, имеет вид:
(коэффициенты B, C, D отличны от нуля). Запишем это уравнение так: 
Так как эта плоскость проходит через точки М1 и М2, то координаты этих точек удовлетворяют искомому уравнению, получаем линейную алгебраическую систему уравнений: