Контрольная работа по Математике 2 (стр. 2 из 2)

Дисперсия

Среднеквадратичное отклонение

Найдём интегральную функцию распределения:

При x≤1, F(x)=0

При x>1

Таким образом,

Вычерчиваем такой график

Вероятность того, что случайная величина попадает в интервал (0, 2) или фактически в интервал (1, 2), т.к. невозможны значения меньше 1, вычислим, проинтегрировав плотность вероятности в соответствующих пределах:

, так как на промежутке от 0 до 1 вероятность выпадения величины равна нулю.

Вероятность того, что только три из четырёх попаданий будет в этот интервал, вычислим по формуле Бернулли

7.01. Срок службы прибора представляет собой случайную величину, подчинённую закону нормального распределения со средним сроком службы в 10 лет и среднеквадратичным отклонением 1,5 года. Определить вероятность того, что прибор прослужит до 15 лет, от 8 до 18 лет, свыше 16 лет.

Решение. Вероятность того, что величина Х попадает в некоторый интервал (α, β) есть

, где Ф ― функция Лапласа, m ― математическое ожидание распределения, σ ― среднеквадратичное отклонение.

В первом случае имеется от 0 до 15 лет, т.е., α=0, β=15

Следовательно,

. Аргумент соответствующей функции Лапласа округляем до сотых. Обращаясь к таблице, выписываем: Ф(3,33)=0,4996 и Ф(6,67)=0,5000

Следовательно, вероятность того, что прибор прослужит до 15 лет есть Р₁=0,4996+0,5=0,996

Соответственно, вероятность того, что он прослужит от 8 до 18 лет есть

. Обращаясь к таблице, выписываем: Ф(1,33)=0,4082 и Ф(5,33)=0,5000. Следовательно, вероятность того, что он прослужит от 8 до 18 лет есть Р₂=0,5+0,4082=0,9082

Свыше 16 лет ― это означает от 16 до бесконечности.

. Обращаясь к таблице, выписываем: Ф(∞)=0,5 и Ф(4)=0,499968. Следовательно, такая вероятность Р₃=0,5-0,499968=3,2·10^‑5.

8.01. Имеются данные о продаже туристических товаров в системе спорткультторга по кварталам за 5 лет в тыс. у.е. рассчитать гарантийный запас товара в тыс. у.е. на квартал с указанной надёжностью γ и проанализировать плановые товарные запасы на квартал

Решение. Поскольку σ неизвестно, то гарантийный запас обуви найдём по формуле

, где . По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=1-0,96=0,04 и числом степеней свободы k=n-1=19 найдем t_γ=2,20.

Составляем расчётную таблицу для нахождения

и S.

№	xi		№	xi
1	396	156816	12	418	174724
2	438	191844	13	412	169744
3	398	158404	14	480	230400
4	412	169744	15	478	228484
5	414	171396	16	519	269361
6	422	178084	17	429	184041
7	436	190096	18	437	190969
8	418	174724	19	391	152881
9	443	196249	20	368	135424
10	474	224676	Σ	8633	3750561
11	450	202500

Параметры вычисляем по формулам:

Тогда

Границы доверительного интервала ― это 431,65-17,5=414,12 слева и 431,65+17,5=449,18

Таким образом, гарантийный квартальный запас должен быть не менее 414,12 тыс. у.е. и не более 449,18 тыс. у.е. В эти рамки должно укладываться не менее 96% произведённых выборок.

План 460 тыс. у.е. не соответствует этому интервалу.

Определить тесноту связи между X и Y, составить уравнение регрессии.

Решение. Для определения характера зависимости построим точки x_i, y_i.

Видно, что все точки, кроме (14, 1346), (14,3, 1359) группируются около некоторой прямой. Следовательно, можно говорить о линейной регрессии.

Будем искать уравнение регрессии в виде

№	xi	yi			xiyi
1	13.5	1362.0	182.25	1855044	18387	1364.04	2.04
2	13.6	1368.0	184.96	1871424	18604	1362.34	5.66
3	13.7	1357.0	187.69	1841449	18590	1360.64	3.64
4	13.8	1363.0	190.44	1857769	18809	1358.95	4.05
5	13.9	1360.0	193.21	1849600	18904	1357.25	2.75
6	14.0	1346.0	196.00	1811716	18844	1355.55	9.55
7	14.1	1354.0	198.81	1833316	19091	1353.85	0.15
8	14.2	1347.0	201.64	1814409	19127	1352.16	5.16
9	14.3	1359.0	204.49	1846881	19433	1350.46	8.54
10	14.4	1348.0	207.36	1817104	19411	1348.76	0.76
Σ	139,5	330	1946,85	18398712	189203	-	-

Искомые параметры a и b найдём из системы уравнений

а=-16,96969 и b=1593,12727. Следовательно, искомая аппроксимирующая функция есть y=-16,96969х+1593,12727

Рассчитаем по этому уравнению ожидаемые значения выпечки хлеба. По значениям отклонений можно сделать вывод о том, что ожидаемые значения

удовлетворительно согласуются с наблюдаемыми значениями у.

Найдём выборочный коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции по модулю равен 0,69 ― связь заметная, обратная (по шкале Чаддока).