Нормированные пространства (стр. 7 из 8)

Рассмотрим случай, когда функция g имеет вид:

Обозначим

Тогда правая часть равенства примет вид

по неравенству Минковского. (1)

Рассмотрим первое слагаемое

(2) Аналогично второе слагаемое

. (3)

Таким образом, учитывая (1),(2),(3), получим

. Найдем

, т.к.

Далее имеем

. В результате,

,т.к.

, то

и равна некоторому числу

Совершенно аналогично доказывается

для случая, когда

1) Таким образом, из пунктов I.1 и I.2 получим, что

типа

, и,

следовательно,

будет типа

при условии

, где

;

, т.е.

, что и дано по условию.

Таким образом, применив теорему Рисса – Торина, установили истинность доказываемого утверждения для всех простых функций

II. Пусть

– произвольная функция из

По предложению 4 множество простых функций всюду плотно в

По утверждению 4 оператор свертки

можно распространить на

и тогда доказываемый факт верен для любой функции

из

. Теорема доказана.

Глава III. Пространства суммируемых последовательностей.

§1. Основные понятия.

Рассмотрим применение теории интерполяции для пространств

Пусть {m_z}_z_Î_Z - последовательность неотрицательных чисел. Определим на множестве Z меру следующим образом:

для любого целого числа
. Пространство суммируемых со степенью p последовательностей относительно меры m, то есть таких, что

обозначается

Так как мера m определена на множестве всех подмножеств множества Z, то любую последовательность можно рассматривать как измеримую функцию. Обозначим через

линейное пространство всех последовательностей.

Определение. Число

называется нормой последовательности x_n из l^p(m,Z).

В случае, если

для всех z, то получим классическое пространство l^p(Z) последовательностей, суммируемых со степенью p .

Определение. Оператор Т, действующий из пространства

называется оператором слабого типа (p,p), если

, где

, и оператором типа(p,p), если

В этом случае остается справедливым следующий факт: любой оператор типа

есть оператор слабого типа

. Прежде чем установить его истинность, докажем утверждение, которое для этого понадобится.

Утверждение 5. Пусть дана последовательность

из

с неотрицательными членами. Тогда

Доказательство.

Обозначим

. Нужно доказать, что

. Получили, что

Утверждение доказано.

Предложение 5. Любой оператор типа

есть оператор слабого типа

Доказательство.

Дано, что

. Доказать, что

Возьмем произвольное положительное число

. По утверждению 5

. По условию

. Тогда

, что и требовалось доказать.

Легко увидеть, что теорема Марцинкевича будет справедлива и для операторов, действующих из пространств

в пространство

§2. Связь между коэффициентами Фурье

- периодической функции и ее нормой в
.