Нормированные пространства (стр. 6 из 8)
Предложение 4. Множество простых функций всюду плотно в
, т.е. 
, такая, что 
,где 
– простая функция.Доказательство.
I.Обозначим
, где 
N.  |
Ясно, что для почти всех
. Тогда 
для почти всех . Следовательно, 
.С другой стороны,
(*) 
,т.е. 
. Поэтому 
суммируема. Применим теорему Лебега к неравенству (*) : 
. Получим, что 
и, значит, приблизили 
функциями 
. Возьмем произвольное положительное число 
. Найдем функцию такую, что 
.II. Приблизим
ступенчатой функцией.Обозначим
, где 
. Положим 
.По свойству интеграла Лебега для любого положительного
найдется 
, такое, что 
. Это означает, что 
.Отрезок
разобьем на 
равных частей точками 
так, чтобы 
.Обозначим
.Рассмотрим функцию
. Тогда 
. Следовательно, 
, т.е. 
.В результате нашлась простая функция
такая, что 
.III. Таким образом,
. Предложение доказано.Первая интерполяционная теорема в теории операторов была получена М.Риссом в 1926 году в виде некоторого неравенства для билинейных форм. Ее уточнение и операторная формулировка были даны Г.О.Ториным. Вся теория интерполяции линейных операторов первоначально развивалась в направлении обобщения этой теоремы. Дадим ее формулировку.
Теорема. Пусть
. Оператор Т действует из пространства 
в 
с нормой 
и одновременно из 
в 
с нормой 
.Тогда Т будет непрерывным оператором из пространства 
в 
с нормой 
, удовлетворяющей неравенству 
при условии, что 0<t<1 и 
; 
.Теперь рассмотрим приложение теоремы Рисса – Торина в доказательстве следующего факта.
Теорема. Пусть
и для чисел 
выполняется равенство 
.Тогда свертка 
.Доказательство.
Нужно доказать, что
, т.е. 
. Зафиксируем произвольную функцию 
из . Докажем сначала требуемый результат для частного случая, когда функция g простая, а затем распространим на произвольные функции g.I. Пусть функция
простая.1) Рассмотрим оператор свертки на множестве простых функций и проверим, что он типа
, где 
. В силу неравенства Гельдера 
. Учитывая геометрический смысл 
интеграла, получим 
для любого действительного числа х. Тогда 
. Так как 
, то 
, т.е. равна некоторому числу . Таким образом, 
. Следовательно, нашлась константа , такая, что 
. Это и означает, что оператор свертки Т на множестве простых функций типа 
.2) Проверим, что оператор Т типа
, т.е. 
.