Нормированные пространства (стр. 2 из 8)

Сложение элементов в

и умножение их на числа определяются как обычные сложение и умножение функций. Точнее, поскольку каждый элемент в – это класс эквивалентных между собой функций, то для того, чтобы сложить два таких класса, нужно брать в них по представителю и потом суммой этих классов называют класс, содержащий сумму выбранных представителей. Результат не будет зависеть от выбора представителей в данных классах.

Определение. Число

называется нормой функции

Будут выполняться все свойства нормы:

1.

и почти всюду;

2.

3.

Первое свойство cледует из определения нормы и того, что

Второе – из свойства интеграла: постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. Третье свойство вытекает из неравенства Минковского: для любых функций

Определение. Функция

называется ограниченной почти всюду, если существует неотрицательное число такое, что почти всюду выполняется неравенство . (*)

Определение.Пространством

называется нормированное пространство, элементами которого служат почти всюду ограниченные функции

. Нормой

называется наименьшая из констант, удовлетворяющих неравенству (*).

Для

выполняется почти всюду неравенство .

Через

будем обозначать линейное пространство измеримых функций, заданных на R.

Среди линейных операторов, действующих в пространстве

, рассмотрим следующие.

Определение. Оператор

, действующий из пространства ( ) в , называется оператором слабого типа (p,p), если

, где - мерамножества, и оператором типа (p,p), если .

По определению оператор типа

является ограниченным, что равносильно его непрерывности.

Предложение 1. Любой оператор типа

есть оператор слабого типа .

Доказательство.

Нужно доказать, что

.

Воспользуемся неравенством Чебышева:

.

Возьмем любое положительное число

. По неравенству Чебышева

. Но по условию .

Учитывая последнее соотношение, имеем

, что и требовалось доказать.

§3. Интеграл Лебега – Стилтьеса.

Далее понадобится понятие интеграла Лебега – Стилтьеса. Введем это понятие.

Определение. Пусть на Rзадана монотонно неубывающая функция

, которую для определенности будем считать непрерывной слева. Определим меры всех сегментов, интервалов и полусегментов равенствами

Таким образом, функция

, которая каждому сегменту ставит в соответствие меру этого сегмента, будет:

1. принимать действительные неотрицательные значения;

2. аддитивной, т.е. мера объединения есть сумма мер этих сегментов.

Применив стандартное распространение меры, получим меру на некоторой

- алгебре.

Определение. Меру

_, получающуюся с помощью такого построения, называют мерой Лебега – Стилтьеса, отвечающей функции , а саму функцию называют производящей функциейэтой меры.

Определение. Пусть

- мера на R, порожденная монотонной функции . Для этой меры обычным образом определяется класс суммируемых функций и вводится понятие интеграла Лебега .

Такой интеграл, взятый по мере

, отвечающей производящей функции , называется интегралом Лебега – Стилтьесаи обозначается .

Теперь докажем факт, который используется при доказательстве интерполяционной теоремы.

Предложение 2.

и для

и , тогда

(1)

, и если , и , то

. (2)

Доказательство.

Равенство (1) следует из определения интегралов Лебега и Лебега – Стилтьеса:

Если

- последовательность разбиений действительной оси:

, и , то интегралы , где , если , стремятся при .