Построение корреляции исследуемых зависимостей (стр. 1 из 5)
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ»
КАФЕДРА СТАТИСТИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
по дисциплине "ЭКОНОМЕТРИКА"
ВАРИАНТ № 5
Санкт-Петербург
2009
1. По 10 банкам изучается зависимость прибыли (у – млн. руб.) от вложений в уставные капиталы предприятий (х – млн. руб.):
| № | Прибыль, млн. руб. | Вложения в уставные капиталы предприятий, млн. руб. |
| 1 | 55,3 | 20 |
| 2 | 50,2 | 25 |
| 3 | 60,9 | 35 |
| 4 | 62,8 | 42 |
| 5 | 63,9 | 47 |
| 6 | 64,5 | 50 |
| 7 | 65,5 | 55 |
| 8 | 66,8 | 63 |
| 9 | 67,9 | 70 |
| 10 | 69,3 | 80 |
1. Построить поле корреляции рассматриваемой зависимости.
2. Определить уравнение регрессии полулогарифметической модели:
= а + b*lnх.3. Найти индекс корреляции и сравнить его с линейным коэффициентом корреляции. Пояснить причины различий.
4. Найти среднюю ошибку аппроксимации.
5. Рассчитать стандартную ошибку регрессии.
6. С вероятностью 0,95 оценить статистическую значимость уравнения и коэффициента регрессии. Сделать выводы.
7. С вероятностью 0,95 оценить доверительный интервал ожидаемого размера прибыли, если вложения в уставные капиталы предприятий составят 45 млн. руб.
решение
При изучении зависимости между двумя признаками графический метод подбора вида уравнения регрессии достаточно нагляден. Он основан на поле корреляции.
Рисунок 1.1. Поле корреляции, характеризующее зависимость прибыли от вложений в ставные капиталы предприятий.
Для определения параметров полулогарифмической функции используется система нормальных уравнений следующего вида:
.Таблица 1.1
Определение параметров регрессии
| № | у | у2 | х | lnx |  | (lnx)2 | у*lnx |
| 1 | 55,3 | 3058,09 | 20 | 2,996 | 0,655 | 8,974 | 165,664 |
| 2 | 50,2 | 2520,04 | 25 | 3,219 | 0,344 | 10,361 | 161,588 |
| 3 | 60,9 | 3708,81 | 35 | 3,555 | 0,062 | 12,640 | 216,521 |
| 4 | 62,8 | 3943,84 | 42 | 3,738 | 0,005 | 13,970 | 234,726 |
| 5 | 63,9 | 4083,21 | 47 | 3,850 | 0,002 | 14,824 | 246,024 |
| 6 | 64,5 | 4160,25 | 50 | 3,912 | 0,011 | 15,304 | 252,325 |
| 7 | 65,5 | 4290,25 | 55 | 4,007 | 0,041 | 16,059 | 262,480 |
| 8 | 66,8 | 4462,24 | 63 | 4,143 | 0,114 | 17,166 | 276,761 |
| 9 | 67,9 | 4610,41 | 70 | 4,248 | 0,197 | 18,050 | 288,473 |
| 10 | 69,3 | 4802,49 | 80 | 4,382 | 0,333 | 19,202 | 303,674 |
| Сумма | 627,1 | 39639,63 | 487 | 38,051 | 1,764 | 146,550 | 2408,237 |
| Среднее | 62,710 | 3963,96 | 48,700 | 3,805 | - | 14,655 | 240,824 |
| s | 5,605 | - | - | 0,421 | - | - | - |
.а =
= 0,02;b =
= 16,428.Итак, получили следующее уравнении регрессии:
= 0,02 + 16,428*lnх.Подставляя в уравнении регрессии фактические значения х, получаем теоретические значения результата
. По ним рассчитываем показатель тесноты связи – индекс корреляции.rху =
Таблица 1.2
Расчет коэффициента корреляции
| № | у | |  |  |
| 1 | 55,3 | 49,23 | 36,80 | 54,91 |
| 2 | 50,2 | 52,90 | 7,29 | 156,50 |
| 3 | 60,9 | 58,43 | 6,11 | 3,28 |
| 4 | 62,8 | 61,42 | 1,90 | 0,01 |
| 5 | 63,9 | 63,27 | 0,40 | 1,42 |
| 6 | 64,5 | 64,29 | 0,05 | 3,20 |
| 7 | 65,5 | 65,85 | 0,12 | 7,78 |
| 8 | 66,8 | 68,08 | 1,65 | 16,73 |
| 9 | 67,9 | 69,81 | 3,66 | 26,94 |
| 10 | 69,3 | 72,01 | 7,33 | 43,43 |
| Сумма | 627,1 | 625,30 | 65,31 | 314,19 |
| Среднее | 62,710 | - | - | - |
rху =
= 0,89 – связь сильная.Рассчитаем линейный коэффициент корреляции:
rxy = b*
= 16,428* 
= 0,91 – данное значение близко к единице и означает наличие очень тесной зависимости прибыли от вложений в уставные капиталы предприятий.Мы получили различие между индексом корреляции и линейным коэффициентом корреляции из-за различий в принимаемой базе при расчетах, т.е. в одном случае используется потенцированное значение, а в другом непотенциированное.
Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:
= 
*100%.Таблица 1.3
Расчет средней ошибки аппроксимации
| № | у | |  |
| 1 | 55,3 | 49,23 | 0,110 |
| 2 | 50,2 | 52,90 | -0,054 |
| 3 | 60,9 | 58,43 | 0,041 |
| 4 | 62,8 | 61,42 | 0,022 |
| 5 | 63,9 | 63,27 | 0,010 |
| 6 | 64,5 | 64,29 | 0,003 |
| 7 | 65,5 | 65,85 | -0,005 |
| 8 | 66,8 | 68,08 | -0,019 |
| 9 | 67,9 | 69,81 | -0,028 |
| 10 | 69,3 | 72,01 | -0,039 |
| Сумма | 627,1 | 625,30 | 0,040 |
= 
*0,040*100 = 0,4% - в среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 0,4%.Стандартная ошибка регрессии, как и ошибка аппроксимации, служит для оценки качества уравнения регрессии. Ошибка определяется по формуле:
S =
= 
= 2,857.f-тест – оценивание качества уравнения регрессии – состоит в проверке гипотезы Н0 о статической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнения фактического Fфакт и критического Fтабл значений f-критерия Фишера.
Fфакт определяется из соотношения:
Fфакт =
= 
= 30,48,где n – число единиц совокупности;
m – число параметров при переменных х.
Поскольку Fфакт > Fтабл. = 5,32, то Н0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.
Для параметров парной регрессии средняя ошибка оценки вычисляется:
mb =
= 
= 2,151;tb =
= 
= 7,637.Табличное значение критерия Стьюдента при уровне значимости 0,05 и количестве степеней свободы 10 – 2 = 8 составляет 2,306.
Вывод: полученное значение критерия tb по модулю больше табличного, следовательно, можно отклонить гипотезу о несущественности коэффициента регрессии b.
Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если вложения в уставные капиталы предприятий составят 45 млн. руб., то вложения в уставные капиталы предприятий будут:
= 0,02 + 16,428*ln45 = 62,556 млн. руб.Ошибка прогноза вычисляется по формуле:
m
= sост* 
= 2,857* 
= 2,857*1,049 = 2,997.Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:
D
= tтабл* m = 2,306*2,997 = 6,911.