Построение корреляции исследуемых зависимостей (стр. 2 из 5)

Доверительный интервал прогноза:

g

= ±D = 62,556 ± 6,911;

g

min = - D = 62,556 – 6,911 = 55,645;

g

mах = + D = 62,556 + 6,911 = 69,467.

Итак, ожидаемый размер прибыли, если вложения в уставные капиталы предприятий составят 45 млн. руб., не выйдет с вероятностью 0,95 за пределы интервала [55,645; 69,467] млн. руб.

2. По 20 предприятиям региона, выпускающим однородную продукцию построена модель объема выпуска (у – тыс. ед.) от численности занятых (х₁ - человек), элекровооруженности труда (х₂ – кВт*час на 1 работника) и потерь рабочего времени (х₃ - %). Результаты оказались следующими:

= а + 1,8*х₁ + 3,2*х₂ – 2,1*х₃R² = 0,875

(2,1) (3,4) (4,9) (1,9)

В скобках указаны фактические значения t-критерия для параметров уравнения регрессии.

Кроме того, известна следующая информация:

Среднее значение	Коэффициент вариации, %
у	25	40
х1	420	20
х2	30	35
х3	18	10

1. Дать интерпретацию коэффициентов регрессии и оценить их значимость. Сделать выводы.

2. Оценить параметр а.

3. Оценить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера с вероятностью 0,95. Сделать выводы.

4. Построить уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе и сделать выводы.

5. Найти частные коэффициенты корреляции и сделать выводы.

6. Дать интервальную оценку для коэффициентов регрессии.

7. Определить частные средние коэффициенты эластичности и сделать выводы.

8. Оценить скорректированный коэффициент множественной детерминации.

решение

Интерпретация уравнения регрессии: параметр b₁ свидетельствует о том, что с увеличением численности занятых на 1 чел., объем выпуска увеличивается на 1,8 тыс. ед. при постоянном уровне электровооруженности труда и потерь рабочего времени.

Увеличение электровооруженности труда на 1 кВт.час на 1 работника объем выпуска увеличивается на 3,2 тыс. ед. при постоянном уровне численности занятых и потерь рабочего времени.

Увеличение же потерь рабочего времени на 1% объем выпуска снижается на 2,1 тыс. ед. при постоянном уровне численности занятых и элекровооруженности труда.

Оценку статистической значимости коэффициентов регрессии проведем с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Н₀ о статистически незначимом отличии коэффициентов регрессии от нуля.

t_табл для числа степеней свободы df = n – 2 = 20 – 2 = 18 и a = 0,05 составит 2,101.

Фактические значения t-статистики:

t_b1 = 3,4 > t_табл = 2,101;

t_b2 = 4,9 > t_табл = 2,101;

t_b3 = -1,9 < t_табл = 2,101.

Гипотеза Н₀ отклоняется, т.е. b₁ и b₂ не случайно отличаются от 0, а статистически значимы. Гипотеза Н₀ не отклоняется в случае коэффициента b₃, данный коэффициент следует признать статистически незначимым.

Выдвигаем гипотезу Н₀ о статистически незначимом отличии показателя а от нуля.

t_табл для числа степеней свободы df = n – 2 = 20 – 2 = 18 и a = 0,05 составит 2,101.

Фактические значения t-статистики: t_а = 2,1 > t_табл = 2,10.

Гипотеза Н₀ отклоняется, т.е. параметр а не случайно отличаются от 0, а статистически значим.

f-тест – оценивание качества уравнения регрессии – состоит в проверке гипотезы Н₀ о статической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнения фактического F_факт и критического F_табл значений f-критерия Фишера.

F_факт определяется из соотношения:

F_факт =

= = 37,33,

где n – число единиц совокупности;

m – число параметров при переменных х.

Поскольку F_факт > F_табл. = 3,24, то Н₀ – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Для построения уравнения в стандартизованном масштабе рассчитаемb_i, используя формулы для перехода от b_i к b_i:

b_i = b_i*

.

Таблица 2.1

Расчет среднеквадратического отклонения

Среднее значение	Коэффициент вариации, %	s
(1)	(2)	(3)	(4) = (2)*(3)
у	25	40	10
х1	420	20	84
х2	30	35	10,5
х3	18	10	1,8

b₁ = 1,8*

= 15,12;

b₂ = 3,2*

= 3,36;

b₃ = -2,1*

= -0,38;

Получим уравнение: t_y = 15,12*t_x1 + 3,36*t_x2 – 0,38*t_х3.

Анализ β-коэффициентов показывает, что на объем выпуска из трех исследуемых факторов сильнее оказывает фактор X₁ – численность занятых, так как ему соответствует наибольшее значение β-коэффициента.

Частные коэффициенты корреляции можно определить по формуле на основе коэффициентов детерминации:

r_yx1*x2x3 =

;

r_yx2*x1x3 =

;

r_yx3*x1x2 =

.

Определяем частный коэффициент корреляции у с х₁:

F_х1 =

;

t_b1 =

Þ F_х1 = = 3,4² = 11,56;

= R² - = 0,875 - = 0,785;

r_yx1*x2x3 =

= 0,647.

При постоянном уровне электровооруженности труда и потерь рабочего времени объем выпуска тесно зависит от численности занятых (теснота зависимости соответствует 0,647).

Определяем частный коэффициент корреляции у с х₂:

F_х2 =

;

t_b2 =

Þ F_х2 = = 4,9² = 24,01;

= R² - = 0,875 - = 0,687;

r_yx2*x1x3 =

= 0,775.

При постоянном уровне численности занятых и потерь рабочего времени объем выпуска тесно зависит от электровооруженности труда (теснота зависимости соответствует 0,775).

Определяем частный коэффициент корреляции у с х₃:

F_х3 =

;

t_b3 =

Þ F_х3 = = 1,9² = 3,61;

= R² - = 0,875 - = 0,847;

r_yx2*x1x3 =

= 0,428.

При постоянном уровне численности занятых и электровооруженности труда объем выпуска средне зависит от потерь рабочего времени (теснота зависимости соответствует 0,428).

Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку для коэффициентов регрессии при факторах:

D = t_табл*m_bxi,

где m_bx1 =

= = 0,529;

m_bx2 =

= = 0,653;