Асимптотические методы исследования нестационарных режимов в сетях случайного доступа (стр. 7 из 12)

(3.11)

где

– асимптотическое распределение нормированного числа заявок в источнике повторных вызовов в окрестности асимптотического среднего.

Перейдем ко второму этапу.

2 этап.Неизвестные функции

будем искать с точностью до форме

(3.12)

где

имеют вид аналогичный (3.5), где в качестве выступает и для них справедливы равенства (3.7).

Найдем вид функций

.

С точностью до

(3.10) запишем

(3.13)

В уравнения (3.13) подставим

в форме (3.12), уничтожим подобные слагаемые и получим систему неоднородных линейных алгебраических уравнений относительно функций вида

,

, (3.14)

Система (3.14) будет иметь решение, если

. Из уравнения Фоккера-Планка (3.9) мы знаем, что . Таким образом, можно сделать вывод, что система (3.14) разрешима. При условии, что функция известна, решение системы (3.14) можно записать так

(3.15)

Перейдем к третьему этапу.

3 этап.С точностью до

уравнения (3.10) запишем следующим образом

(3.16)

Теперь подставляем в систему уравнений (3.16)

в форме (3.12), оставляем слагаемые, имеющие порядок не выше и суммируем уравнения. Получим равенство для нахождения

(3.17)

В полученное равенство подставим выражения для функции

и , найденные на втором этапе. В результате приведения подобных, для получим уравнение Фоккера-Планка

(3.18)

с коэффициентом переноса

и коэффициентом диффузии

Уравнение Фоккера-Планка (3.18) получено для некоторого диффузионного процесса

, плотность распределения вероятностей которого .

Запишем стохастическое дифференциальное уравнение для

в общей форме

, (3.19)

где

- винеровский процесс с нулевым средним и единичным коэффициентом диффузии, в нашем случае оно приобретает вид

. (3.20)

Введем новый случайный процесс

, (3.21)

для его приращения справедливо

Выберем функцию

так, чтобы она удовлетворяла дифференциальному уравнению . Например, . Тогда и, следовательно, .

Выразим из (3.21) функцию

(заметим, что ) и получим

(3.22)

Анализируя вид процесса

можно сделать вывод, что он распределен по нормальному закону. Найдем и , которые полностью определяют вид плотности распределения . Учитывая свойства винеровского процесса, получим

(3.23)

Найдем дисперсию.

рассмотрим второе слагаемое подробнее. Для этого введем обозначение

, тогда получим

С учетом того, что

будем иметь

Тогда в окончательном варианте дисперсия равна

(3.24)

Теперь можно записать решение уравнения Фоккера-Планка (3.18), которое имеет вид

(3.25)

Пусть

, где - точка покоя дифференциального уравнения , которая определяется конечным уравнением

, (3.26)

где

.

Возможны три варианта:

1.

, тогда точек покоя не существует (рис. 3.5).

2.

, тогда существует одна точка покоя .

3.

, тогда существует две точки покоя и .

Для примера рассмотрим случай, когда

(рис. 3.6). Тогда уравнение (3.26) имеет единственный корень . Коэффициенты диффузии уравнения Фоккера-Планка не зависят от времени и равны . Если взять , то уравнение (3.26) будет иметь два корня и (рис. 3.7). Для первой точки коэффициенты диффузии равны , для второй . Точка является нежелательной. Если предположить, что сеть связи работает в стационарном режиме, то в окрестности точки распределение нормированного числа заявок в ИПВ является нормальным [1] и имеет вид