Асимптотические методы исследования нестационарных режимов в сетях случайного доступа (стр. 5 из 12)

Просуммируем левые и правые части уравнений системы (2.7) и получим равенство

. (2.8)

С учетом того, что

равенство (2.8) принимает вид

. (2.9)

Уравнение (2.9) является однородным линейным уравнением с частными производными первого порядка. Для того чтобы его решить составим уравнение

,

его решение

, тогда

Общее решение уравнения (2.9) имеет вид

, (2.10)

где

- произвольная дифференцируемая функция, аналитическое выражение которой найдем из начальных условий.

Пусть распределение в начальный момент времени

где некоторая плотность распределения. Тогда следовательно . Возьмем в качестве начальной плотности распределения , где - дельта-функция Дирака, а , - число заявок в источнике повторных вызовов в начальный момент времени.

Таким образом

, из свойств функции Дирака следует, что .

То есть мы получили, что

, имеет смысл асимптотического среднего.

Из приведенных рассуждений вытекает еще одно важное следствие, а именно

имеет место , тогда (отрицательная функция противоречит смыслу задачи). В нашем случае совпадает с пропускной способностью системы.

Перейдем ко второму приближению, в котором будем искать распределение отклонения от асимптотического среднего.

Второе приближение

В исходной системе уравнений (2.1) сделаем замену переменных

.

Заметим, что в новых обозначениях производная по времени

равна . С учетом этого система (2.1) примет вид

(2.11)

Решение системы уравнений (2.11) аналогично решению системы (2.2), но проводится в три этапа.

1 этап.В системе дифференциальных уравнений (2.13) сделаем предельный переход при

и предположим, что , получим

(2.12)

.

Решим эту систему аналогично тому, как решили систему уравнений (2.3). Введем функцию

и выразим через нее , получим

(2.13)

где

асимптотическая плотность распределения отклонения числа заявок в источнике повторных вызовов от асимптотического среднего.

2 этап.Функции

будем искать с точностью до в форме

(2.14)

Найдем вид функций

, и . Для этого в системе дифференциальных уравнений (2.11) все функции с аргументом разложим в ряд по приращению аргумента , ограничимся слагаемыми порядка . Получим

(2.15)

В уравнения (2.15) подставим

в форме (2.14), приведем подобные и получим систему неоднородных линейных алгебраических уравнений относительно вида

,

, (2.16)

Нетрудно увидеть, что между уравнениями этой системы есть зависимость и ранг матрицы системы равен, следовательно, чтобы решение уравнений (2.16)существовало, необходимо выполнение равенства

(2.17)

Из однородного линейного уравнения с частными производными первого порядка (2.9) мы знаем, что

. Таким образом, можно сделать вывод, что система (2.16) разрешима. При условии, что функция известна, решение можно записать в виде

,

(2.18)

Теперь все готово, для того, чтобы найти функцию

. Перейдем к третьему этапу.

3 этап. В системе дифференциальных уравнений (2.11) все функции с аргументом

разложим в ряд по приращению аргумента , ограничиваясь слагаемыми порядка , получим

(2.19)

Теперь подставим в уравнения (2.19)

в форме (2.14) и просуммируем левые и правые части уравнений, будем иметь

(2.20)

Подставляя вместо

и их выражения, полученные на втором этапе получим для уравнение Фоккера-Планка

, (2.21)