Рассмотрим исходную систему уравнений (1.1) и произведем в ней замену переменных:
Тогда систему (1.1) перепишем
Получим вид решения системы (1.2), которую будем решать в три этапа.
1 этап.В уравнениях (1.2) устремим
Выразим
где
Введем обозначения
(
Найдем вид функции
2 этап.Неизвестные функции
Определим вид функций
В полученные уравнения подставим
Теперь приведем подобные слагаемые, учтем равенства (1.6), и получим неоднородную линейную систему алгебраических уравнений для нахождения неизвестных функций
Нетрудно заметить, что ранг матрицы однородной системы алгебраических уравнений, соответствующей (1.10) равен двум. Следовательно, для того, чтобы система была разрешима, необходимо, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен двум, т.е. чтобы выполнялось следующее равенство
С учетом того, что
Равенство нулю производной противоречит смыслу задачи, следовательно
Рис. 1.5
Таким образом, мы выяснили, что система (1.10) разрешима. Ее решение можно записать так
Перейдем к третьему этапу.
3 этап. Запишем уравнения системы (1.2) с точностью до
Как и на втором этапе в полученные уравнения подставим