Асимптотические методы исследования нестационарных режимов в сетях случайного доступа (стр. 2 из 12)

Заявки, попавшие в конфликт, а также поступающие в систему во время оповещения о конфликте, автоматически переходят в источник повторных вызовов (ИПВ). Из него они вновь обращаются к прибору с попыткой повторного обслуживания через случайные интервалы времени, распределенные по экспоненциальному закону с параметром

(i– число заявок в ИПВ в момент времени t), и могут вновь попасть в конфликтные передачи. После успешной передачи заявка покидает систему.

Время обслуживания распределено по одному и тому же показательному закону с параметром

, как для первичных, так и для повторных вызовов.

Будем считать, что на вход системы поступает простейший поток заявок с параметром

. Структура такой СМО имеет вид рис. 1.1.

Состояние рассматриваемой системы определим вектором

, изменение во времени которого образует однородный дискретный двумерный марковский процесс с бесконечным числом состояний.

Рис. 1.1 – Модель системы массового обслуживания

Математическая модель исследуемого протокола множественного доступа построена, проведем ее анализ, получим аналитические выражения, определяющие зависимости для основных ее характеристик.

Для исследования процесса

введем следующие обозначения

,

вероятность того, что в момент времени t прибор находится в состоянии k и в ИПВ находится i заявок.

Рассмотрим вероятности переходов из состояния системы

в произвольный момент времени t в состояние за бесконечно малый интервал времени .

1. Пусть система находится в состоянии

, то есть в ИПВ находится i заявок и прибор свободен, за интервал времени состояние системы может измениться таким образом (рис. 1.2):

а) с вероятностью

из входящего потока требований поступит новая заявка, которая немедленно займет прибор и начнет обслуживание, тогда система в момент времени будет находиться в состоянии ;

б) с вероятностью

к прибору обратится одна из i заявок, находящихся в ИПВ и система перейдет в состояние ;

в) с вероятностью

состояние системы не изменится.

2. Пусть система в момент времени t находится в состоянии

, то есть прибор занят обслуживанием заявки и в ИПВ находится i требований, за интервал времени возможны следующие переходы (рис. 1.3):

а) с вероятностью

прибор успешно завершит обслуживание, и в момент времени система будет находиться в состоянии ;

б) с вероятностью

в систему поступит новое требование из входящего потока и произойдет конфликт. Как вновь поступившая, так и заявка с прибора перейдут в ИПВ, и начнется интервал оповещения о конфликте, следовательно, система перейдет в состояние ;

в) с вероятностью

к прибору обратится одна из заявок с ИПВ, произойдет конфликт, и обе заявки переместятся в ИПВ, следовательно, система в момент времени будет находиться в состоянии ;

г) с вероятностью

состояние системы не изменится.

3. Пусть система в момент времени t находится в состоянии

. Посмотрим, что произойдет через интервал времени длины (рис. 1.4):

а) с вероятностью

к прибору обратится заявка из входящего потока, которая автоматически попадет в ИПВ. В момент времени система будет в состоянии ;

б) с вероятностью

интервал оповещения о конфликте завершится, и система перейдет в состояние ;

в) с вероятностью

состояние системы не изменится.

Все остальные вероятности переходов не превышают порядка малости

.

Рис. 1.2 – Возможные переходы из состояния

Рис. 1.3 – Возможные переходы из состояния

Рис. 1.4 – Возможные переходы из состояния

Таким образом, можно записать систему конечно-разностных уравнений для вероятностей

состояний системы:

следовательно, в нестационарном режиме, эти вероятности удовлетворяют системе дифференциально-разностных уравнений

,

, (1.1)

,

где

,

решить которую практически невозможно, но можно решить асимптотически в условиях «большой загрузки», т.е. при

, , где пропускная способность исследуемой сети связи (верхняя граница множества тех значений загрузки , для которых в системе существует стационарный режим).