Неопределенные бинарные квадратичные формы (стр. 6 из 7)

где

—

есть так называемая постоянная Эйлера.

Предложение 5 доказано.

Перейдем теперь к элементарному доказательству следующего результата.

Теорема (Зигель). Для числа

всех приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм дискриминанта справедливо неравенство

,

где

— произвольное положительное число, — постоянная, зависящая только от .

Доказательство. Пусть

— неопределенная приведенная форма дискриминанта . Тогда ,

,

Оценим сверху число приведенных форм с

и . Тогда

Применяя к последней сумме предложения 3,4,5, получим:

, где

Теорема доказана.

О диагональных формах и оценка снизу числа классов в роде

В этом параграфе мы получим одну оценку снизу для числа классов в роде неопределенных бинарных квадратичных форм. Сначала введем соответствующие понятия.

Определение 1. Целое число

, не делящееся на простое число , называется квадратичным вычетом по модулю простого числа, если число сравнимо с квадратом некоторого целого числа по модулю , т.е. — квадратичный вычет по модулю , если сравнение имеет решение; в противном случае число называется квадратичным невычетом по модулю . В теории квадратичных вычетов очень полезно использование так называемого символа Лежандра.

Определение 2. Символом Лежандра

числа по простому модулю , которое определяется следующим соотношением:

Приведем некоторые основные свойства символа Лежандра, которые нам понадобятся.

Свойство 1 .

, если

Свойство 2 . Если

, то (свойство периодичности)

Свойство 3 .

(свойство мультипликативности)

Свойство 4 .

, если

Определим теперь понятие рода квадратичных форм, впервые введенное Гауссом. Совокупность классов собственно примитивного порядка данного дискриминанта

Гаусс в своей арифметической теории квадратичных форм разделяет на ряды, относя в один и тот же род все те классы, формы которых имеют и тот же «характер». Под характером примитивной формы или примитивного класса форм Гаусс понимает следующее.

Пусть

— простой делитель дискриминанта , и пусть число всех этих различных модулей равно . Можно показать, что если — один из этих модулей, то для всех чисел , представимых данной собственно примитивной формой дискриминанта и взаимно простых с , символы Лежандра имеют одно и то же значение. В самом деле, пусть

— собственно примитивная форма дискриминанта и — любой нечетный простой делитель числа , и , — два числа, представляемых формой и не делящихся на . Подстановка определителя переводит в форму (см. соотношения (3) §1), причем , откуда , т.е. в силу определения символа Лежандра имеем . Из этого равенства в очередь на основании свойств 3 и 4следует, что .

Символ Лежандра

имеет одно и то же значение для всех чисел , представляемых формой . Выпишем эти символы Лежандра, которые все равны или для всех указанных модулей , взятых в определенном выбранном порядке.

Тогда для данной квадратичной формы получается некоторая определенная последовательность

чисел, равных . Эта последовательность чисел, равных , и называется характером рассматриваемой собственно примитивной бинарной квадратичной формы дискриминанта или характером класса этой формы.

Так как число всех различных последовательностей, составленных из

членов, равных или равно , то число различных характеров форм данного дискриминанта, а следовательно, и число родов не больше, чем . Чтобы решить вопрос о точном числе родов, Гаусс вводит в рассмотрение операции композиции классов и композиции родов квадратичных форм.