. Найти поверхности уровня скалярного поля
. Вычислить производную поля в точке
.
Поверхностями уровня данного поля являются концентрические сферы с центром в начале координат [см. формулу (9)]:
. Градиент вычисляется по формуле (10):
.
,а затем по формуле (7) производную скалярного поля
по направлению вектора в точке 
: 
. Так как 
, то данное скалярное поле убывает в направлении вектора 
.
Контрольная работа № 4. Интегральное исчисление функции одной и нескольких переменных
Литература: [2], гл. V, VII; [4], т. 1, гл. X-XII; [5], гл. XIII, XIV; [8], гл. II.
Основные теоретические сведения
1. Неопределенным интегралом от функции
называется выражение вида 
, если 
. Функция 
называется первообразной для заданной функции .Таблица неопределенных интегралов
- дифференцируемая функция 
При интегрировании наиболее часто используются следующие методы.
1) Если
, то 
(1)где a и b – некоторые постоянные.
2) Подведение под знак дифференциала:
(2)так как
3) Формула интегрирования по частям:
(3)Обычно выражение dv выбирается так, чтобы его интегрирование не вызывало особых затруднений. За u, как правило, принимается такая функция, дифференцирование которой приводит к её упрощению. К классам функций, интегрируемых по частям, относятся, в частности, функции вида
где 
- многочлен от x.4) Интегрирование рациональных дробей, т.е. отношений двух многочленов
и 
(соответственно k-ой и n-ой степени): 
, сводится к разложению подынтегральной функции 
на элементарные, всегда интегрируемые дроби вида:
(4)где l и m – целые положительные числа, трехчлен
не имеет действительных корней. При этом в случае неправильной дроби должна быть предварительно выделена целая часть.5) Интегрирование методом замены переменной (способ подстановки) является одним из эффективных приемов интегрирования. Его сущность состоит в переходе от переменной x к новой переменной t:
Наиболее целесообразная для этого интеграла замена переменной, т.е. выбор функции 
не всегда очевидна. Однако для некоторых часто встречающихся классов функций можно указать такие стандартные подстановки: 
где R – символ рациональной функции.
2. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла имеет вид:
(5)если
и первообразная непрерывна на отрезке 
.Определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми
и частью графика функции 
, взятой со знаком плюс, если 
и со знаком минус, если 
3. Если интервал интегрирования
не ограничен (например, 
) или функция не ограничена в окрестности одного из пределов интегрирования (например, при 
), то по определению полагают: 
(6)и
(7)Интегралы в левых частях равенств (6) и (7) называются несобственными интегралами. Несобственный интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел в правой части равенств (6) и (7).
Если же предел не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.
4. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная прямыми
и частью графика кривой , вращается вокруг оси Ox. Тогда объем полученного при этом тела вращения вычисляется по формуле: 
(8)Пример 1. Найти
.Решение. Так как
то, используя формулы (1), получим: 
Проверка:
Пример 2. Найти
.Решение.
Так как
то по формуле (2) находим: 
Пример 3. Найти
.Решение. Применим метод интегрирования по частям. Положим
тогда 
используя формулу (3), имеем: 
Пример 4. Найти
.Решение. Подынтегральная дробь является правильной и разлагается на элементарные дроби вида (4):
Освобождаясь от знаменателей в обеих частях этого равенства и приравнивая числители, получаем тождество для вычисления неопределенных коэффициентов A, B и С:
Составим систему трех уравнений с тремя неизвестными. Одно уравнение получим, полагая
(корень знаменателя подынтегральной функции). Два других получим, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях тождества, например при 
и 
:
. Вычислить производную поля в точке 
по направлению вектора 
. 
Решение. Поверхностями уровня данного поля являются концентрические сферы с центром в начале координат [см. формулу (9)]: 
. Градиент вычисляется по формуле (10): 
.