Тригонометрические уравнения и неравенства (стр. 8 из 12)
Пример Решить уравнение
Решение. Пусть
, 
и 
, тогда исходное уравнение можно записать в виде функционального уравнения 
. Поскольку функция нечетная, то 
. В таком случае получаем уравнение 
.Так как
, 
и 
монотонна на 
, то уравнение равносильно уравнению 
, т.е. 
, которое имеет единственный корень 
.Ответ.
.Пример Решить уравнение 
.
Решение. На основании теоремы о производной сложной функции ясно, что функция
убывающая (функция 
убывающая, 
возрастающая, 
убывающая). Отсюда понятно, что функция 
определенная на 
, убывающая. Поэтому данное уравнение имеет не более одного корня. Так как 
, тоОтвет.
.Пример Решить уравнение 
.
Решение. Рассмотрим уравнение на трех промежутках.
а) Пусть
. Тогда на этом множестве исходное уравнение равносильно уравнению 
. Которое на промежутке 
решений не имеет, т. к. 
, 
, а 
. На промежутке 
исходное уравнение так же не имеет корней, т. к. 
, а 
.б) Пусть
. Тогда на этом множестве исходное уравнение равносильно уравнению 
корнями которого на промежутке
являются числа 
, 
, 
, 
.в) Пусть
. Тогда на этом множестве исходное уравнение равносильно уравнению 
Которое на промежутке
решений не имеет, т. к. 
, а 
. На промежутке 
уравнение так же решений не имеет, т. к. , 
, а .Ответ.
, , , .Метод симметрии
Метод симметрии удобно применять, когда в формулировке задания присуствует требование единственности решения уравнения, неравенства, системы и т.п. или точное указание числа решений. При этом следует обнаружить какую-либо симметрию заданных выражений.
Нужно также учитывать многообразие различных возможных видов симметрии.
Не менее важным является четкое соблюдение логических этапов в рассуждениях с симметрией.
Обычно симметрия позволяет установить лишь необходимые условия, а затем требуется проверка их достаточности.
Пример Найти все значения параметра 
, при которых уравнение 
имеет единственное решение.
Решение. Заметим, что
и 
--- четные функции, поэтому левая часть уравнения есть четная функция.Значит если
--- решение уравнения, то 
есть также решение уравнения. Если --- единственное решение уравнения, то, необходимо, 
.Отберем возможные значения
, потребовав, чтобы 
было корнем уравнения. 
Сразу же отметим, что другие значения
не могут удовлетворять условию задачи.Но пока не известно, все ли отобранные
в действительности удовлетворяют условию задачи.Достаточность.
1)
, уравнение примет вид 
.2)
, уравнение примет вид: 
Очевидно, что
, для всех 
и 
. Следовательно, последнее уравнение равносильно системе: 
Тем самым, мы доказали, что при
, уравнение имеет единственное решение.Ответ.
.Решение с исследованием функции
Пример Докажите, что все решения уравнения
--- целые числа.
Решение. Основной период исходного уравнения равен
. Поэтому сначала исследуем это уравнение на отрезке 
.Преобразуем уравнение к виду:
При помощи микрокалькулятора получаем: