Тригонометрические уравнения и неравенства (стр. 7 из 12)

Ответ.

, .

Пример Решить уравнение

.

Решение.

, . Следовательно, .

Ответ.

.

Пример Решить уравнение

Решение. Обозначим

, тогда из определения обратной тригонометрической функции имеем и .

Так как

, то из уравнения следует неравенство , т.е. . Поскольку и , то и . Однако и поэтому .

Если

и , то . Так как ранее было установлено, что , то .

Ответ.

, .

Пример Решить уравнение

Решение. Областью допустимых значений уравнения являются

.

Первоначально покажем, что функция

при любых может принимать только положительные значения.

Представим функцию

следующим образом: .

Поскольку

, то имеет место , т.е. .

Следовательно, для доказательства неравенства

, необходимо показать, что . С этой целью возведем в куб обе части данного неравенства, тогда

Полученное численное неравенство свидетельствует о том, что

. Если при этом еще учесть, что , то левая часть уравнения неотрицательна.

Рассмотрим теперь правую часть уравнения .

Так как

, то

.

Однако известно, что

. Отсюда следует, что , т.е. правая часть уравнения не превосходит . Ранее было доказано, что левая часть уравнения неотрицательна, поэтому равенство в может быть только в том случае, когда обе его части равны , а это возможно лишь при .

Ответ.

.

Пример Решить уравнение

Решение. Обозначим

и . Применяя неравенство Коши-Буняковского, получаем . Отсюда следует, что . C другой стороны имеет место . Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ.

.

Пример Решить уравнение:

Решение. Перепишем уравнение в виде:

Ответ.

.

Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений

Не всякое уравнение

в результате преобразований может быть сведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого существует определенный метод решения. В таких случаях оказывается полезным использовать такие свойства функций и , как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций убывает, а вторая возрастает на промежутке , то при наличии у уравнения корня на этом промежутке, этот корень единственный, и тогда его, например, можно найти подбором. Если же функция ограничена сверху, причем , а функция ограничена снизу, причем , то уравнение равносильно системе уравнений

Пример Решить уравнение

Решение. Преобразуем исходное уравнение к виду

и решим его как квадратное относительно

. Тогда получим,

Решим первое уравнение совокупности. Учтя ограниченность функции

, приходим к выводу, что уравнение может иметь корень только на отрезке . На этом промежутке функция возрастает, а функция убывает. Следовательно, если это уравнение имеет корень, то он единственный. Подбором находим .

Ответ.

.