Тригонометрические уравнения и неравенства (стр. 6 из 12)
Пример Решите уравнение 
.
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что они имеют положительные значения:
, 
, 
Пусть
, тогда получим 
, 
, 
. 
Ответ.
.Уравнения, решаемые с помощью тождеств 
Полезно знать следующие формулы:
Пример Решить уравнение 
.
Решение. Используя , получаем
Ответ.
Предлагаем не сами формулы, а способ их вывода:
следовательно,
.Аналогично,
.Пример Решить уравнение 
.
Решение. Преобразуем выражение
: 
.Уравнение запишется в виде:
Принимая
, получаем 
. 
, 
. СледовательноОтвет.
.Универсальная тригонометрическая подстановка
Тригонометрическое уравнение вида
где
--- рациональная функция с помощью фомул -- , а так же с помощью формул -- можно свести к рациональному уравнению относительно аргументов 
, 
, 
, , после чего уравнение может быть сведено к алгебраическому рациональному уравнению относительно 
с помощью формул универсальной тригонометрической подстановки 
Следует отметить, что применение формул может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку
не определен в точках 
, поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы , корнями исходного уравнения.Пример Решить уравнение 
.
Решение. По условию задачи
. Применив формулы и сделав замену , получим 
откуда
и, следовательно, 
.Уравнения вида 
Уравнения вида
, где 
--- многочлен, решаются с помощью замен неизвестных 
Пример Решить уравнение 
.
Решение. Сделав замену и учитывая, что
, получим 
откуда
, 
. 
--- посторонний корень, т.к. 
. Корнями уравнения 
являются 
.НЕСТАНДАРТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Использование ограниченности функций
В практике централизованного тестирования не так уж редко встречаются уравнения, решение которых основывается на ограниченности функций
и . Например:Пример Решить уравнение 
.
Решение. Поскольку
, 
, то левая часть не превосходит 
и равна , если 
Для нахождения значений
, удовлетворяющих обоим уравнениям, поступим следующим образом. Решим одно из них, затем среди найденных значений отберем те, которые удовлетворяют и другому.Начнем со второго:
, 
. Тогда 
, 
.Понятно, что лишь для четных
будет 
.Ответ.
.Другая идея реализуется при решении следующего уравнения:
Пример Решить уравнение 
.
Решение. Воспользуемся свойством показательной функции:
, 
.Сложив почленно эти неравенства будем иметь:
Следовательно левая часть данного уравнения равна
тогда и только тогда, когда выполняются два равенства: 
т. е.
может принимать значения 
, 
, , а может принимать значения , .