Тригонометрические уравнения и неравенства (стр. 5 из 12)

Рассмотрим уравнение вида

где

, ...,

--- действительные числа. В каждом слагаемом левой части уравнения степени одночленов равны

, т. е. сумма степеней синуса и косинуса одна и та же и равна

. Такое уравнение называется однородным относительно

, а число

называется показателем однородности.

Ясно, что если

, то уравнение примет вид:

решениями которого являются значения

, при которых

, т. е. числа

. Второе уравнение, записанное в скобках также является однородным, но степени на 1 ниже.

Если же

, то эти числа не являются корнями уравнения .

При

получим:

и левая часть уравнения (1) принимает значение

Итак, при

, поэтому можно разделить обе части уравнения на

. В результате получаем уравнение:

которое, подстановкой

легко сводится к алгебраическому:

Однородные уравнения с показателем однородности 1. При

имеем уравнение

Если

, то это уравнение равносильно уравнению

, откуда

Пример Решите уравнение

Решение. Это уравнение однородное первой степени

. Разделим обе его части на

получим:

Ответ.

Пример При

получим однородное уравнение вида

Решение.

Если

, тогда разделим обе части уравнения на

, получим уравнение

, которое подстановкой

легко приводится к квадратному:

. Если

, то уравнение имеет действительные корни

. Исходное уравнение будет иметь две группы решений:

Если

, то уравнение не имеет решений.

Пример Решите уравнение

Решение. Это уравнение однородное второй степени. Разделим обе чести уравнения на

, получим:

. Пусть

, тогда

;

Ответ.

К уравнению вида сводится уравнение

Для этого достаточно воспользоваться тождеством

В частности, уравнение

сводится к однородному, если заменить

на

, тогда получим равносильное уравнение:

Пример Решите уравнение

Решение. Преобразуем уравнение к однородному:

Разделим обе части уравнения на

, получим уравнение:

Пусть

, тогда приходим к квадратному уравнению:

Ответ.