Тригонометрические уравнения и неравенства (стр. 4 из 12)
Решение. Применим формулу , получим уравнение
Ответ.
; 
.Пример Решить уравнение 
.
Решение. Применим формулы понижения степени получим:
. Применяя получаем: 
.Ответ.
; 
.Равенство одноименных тригонометрических функций
Пример Решить уравнение 
.
Решение.
Ответ.
, 
.Пример Решить уравнение 
.
Решение. Преобразуем уравнение.
Ответ.
.Пример Известно, что 
и 
удовлетворяют уравнению
Найти сумму
.Решение. Из уравнения следует, что
Ответ.
.Домножение на некоторую тригонометрическую функцию
Рассмотрим суммы вида
Данные суммы можно преобразовать в произведение, домножив и разделив их на
, тогда получим 
Указанный прием может быть использован при решении некоторых тригонометрических уравнений, однако следует иметь в виду, что в результате возможно появление посторонних корней. Приведем обобщение данных формул:
Пример Решить уравнение 
.
Решение. Видно, что множество
является решением исходного уравнения. Поэтому умножение левой и правой части уравнения на 
не приведет к появлению лишних корней.Имеем
.Ответ.
; 
.Пример Решить уравнение 
.
Решение. Домножим левую и правую части уравнения на
и применив формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму, пролучим 
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений
и 
, откуда 
и 
.Так как корни уравнения
не являются корнями уравнения, то из полученных множеств решений следует исключить 
. Значит во множестве нужно исключить 
.Ответ.
и , 
.Пример Решить уравнение 
.
Решение. Преобразуем выражение
: 
Уравнение запишется в виде:
Принимая
, получаем 
. 
, 
. СледовательноОтвет.
.Сведение тригонометрических уравнений к алгебраическим
Сводящиеся к квадратным
Если уравнение имеет вид
то замена
приводит его к квадратному, поскольку 
() и .Если вместо слагаемого
будет 
, то нужная замена будет 
.Уравнение
сводится к квадратному уравнению
представлением
как 
. Легко проверить, что 
при которых 
, не являются корнями уравнения, и, сделав замену 
, уравнение сводится к квадратному.Пример Решить уравнение 
.
Решение. Перенесем
в левую часть, заменим ее на 
, 
и 
выразим через 
и 
.После упрощений получим:
. Разделим почленно на 
, сделаем замену : 
Возвращаясь к
, найдем 
.Уравнения, однородные относительно 
, 