Тригонометрические уравнения и неравенства (стр. 11 из 12)
Последнее неравенство --- верное, а все сделанные переходы --- равносильные. Поэтому верно исходное неравенство. Обоснуем равносильность переходов (*) и (**) (равносильность остальных переходов следует из общих свойств числовых неравнств). В случае преобраования (*), достаточно заметить, что числа
и 
расположен на участке 
монотонного возрастания функции 
. В случае перехода (**) формула 
справедлива, так как 
.Ответ.
.Пример Найти корни уравнения: 
.
Решение этого уравнения распадается на два этапа: 1) решение уравнения, получающегося из данного возведением в квадрат обеих его частей; 2) отбор тех корней, которые удовлетворяют условию
. При этом заботится об условии 
нет необходимости. Все значения 
, удовлетворяющие возведенному в квадрат уравнению, этому условию удовлетворяют.Первый шаг нас приводит к уравнению
, откуда 
.Теперь надо определить, при каких
будет 
. Для этого достаточно для рассмотреть значения 
, 
, 
, т. е. <<обойти один раз круг>>, поскольку дальше значения косинуса начнут повторяться, получившиеся углы будут отличаться от уже рассмотренных на величину, кратную 
.Ответ.
, 
.Итак, основная схема отбора корней состоит в следующем. Находится наименьший общий период всех тригонометрических функций входящих в уравнение. На этом периоде отбираются корни, а затем оставшиеся корни периодически продолжаются.
Решение. Уравнение равносильно смешанной системе:
Но
--- не годится.Ответ.
.Раскрывая знак модуля получаем более громоздное решение. А ответ в этом случае принимает вид:
Ответ.
.ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Тест по теме <<Тригонометрические уравнения>>
• Объединение каких множеств
, 
, 
, 
является решением уравнения 
, 
, 
, 
.a)
, б) , в) , г) , • Решите уравнение
.a)
б) 
в) 
г) 
• Решите уравнение
.a)
б)
в)
г)
• Решите уравнение
.a)
б)
в)
г)
• Решите уравнение
.a)
б)
в)
г)
• Среди множеств
, 
найдите решение уравнения 
и укажите те, которые не являются подмножествами друг друга.
, 
, 
, 
, 
.а)
б) 
в) 
г) 
• Среди множеств
, 
найдите решение уравнения 
а)
б) 
в) 
г) 