Тригонометрические уравнения и неравенства (стр. 10 из 12)
Ответ.
.Неравенства с обратными тригонометрическими функциями удобно решать с использованием графиков обратных тригонометрических функций. Покажем, как это делается на примере.
Решение тригонометрических неравенств графическим методом
Заметим, что если
--- периодическая функция, то для решения неравенства 
необходимо найти его решения на отрезке, длина которого равна периоду функции . Все решения исходного неравенства будут состоять из найденных значений 
, а также всех , отличающихся от найденных на любое целое число периодов функции .Рассмотрим решение неравенства
( 
).Поскольку
, то при 
неравенство решений не имеет. Если 
, то множество решений неравенства --- множество всех действительных чисел.Пусть
. Функция синус имеет наименьший положительный период 
, поэтому неравенство 
можно решить сначала на отрезке длиной , например, на отрезке 
. Строим графики функций 
и 
( ). 
На отрезке
функция синус возрастает, и уравнение 
, где 
, имеет один корень 
. На отрезке 
функция синус убывает, и уравнение 
имеет корень 
. На числовом промежутке 
график функции расположен выше графика функции . Поэтому для всех из промежутка 
) неравенство выполняется, если . В силу периодичности функции синус все решения неравенства 
задаются неравенствами вида: 
.Аналогично решаются неравенства
, 
, и т.п.Пример Решим неравенство 
.
Решение. Рассмотрим график функции
и выберем из промежутка
на оси 
значения аргумента , которым соответствуют точки графика, лежащие выше оси . Таким промежутком является интервал 
. Учитывая периодичность функции все решения неравенства можно записать так: 
.Ответ.
.Пример Решите неравенство 
.
Решение. Нарисуем график функции
. Найдём точку пересечения этого графика с горизонтальной прямой 
. 
Это точка с абсциссой
. По графику видно, что для всех 
график функции лежит ниже прямой . Следовательно, эти и составляют:Ответ.
.Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений весьма специфична и обычно оказывается более сложной, чем это имело место для уравнений алгебраических. Приведем решения уравнений, иллюстрирующие типичные случаи появления посторонних корней и методы <<борьбы>> с ними.
Пример Найти ближайший к числу 
корень уравнения
Решение.
Подставляя последовательно в формулу
вместо переменной выписанные выше серии решений уравнений, отыщем для каждой из них 
, а затем сравним полученные минимальные 
между собой.a)
Ясно, что
достигается при 
, то есть 
.б)
.в)
.г)
. 
.Выберем минимальное из чисел
, 
. Сразу ясно, что 
и что 
. Оталось сравнить 
и 
. Предположим, что