Введение в математический анализ 2 (стр. 1 из 5)

Введение в математический анализ.

Числовая последовательность.

Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана последовательность

x_1, х₂, …, х_n= {x_n}

Общий элемент последовательности является функцией от n.

x_n = f(n)

Таким образом последовательность может рассматриваться как функция порядкового номера элемента.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Пример. {x_n} = {(-1)ⁿ} или {x_n} = -1; 1; -1; 1; …

{x_n} = {sinpn/2} или {x_n} = 1; 0; 1; 0; …

Для последовательностей можно определить следующие операции:

1) Умножение последовательности на число m: m{x_n} = {mx_n}, т.е. mx₁, mx₂, …

2) Сложение (вычитание) последовательностей: {x_n} ± {y_n} = {x_n±y_n}.

3) Произведение последовательностей: {x_n}×{y_n} = {x_n×y_n}.

4) Частное последовательностей:

при {y_n} ¹ 0.

Ограниченные и неограниченные последовательности.

Определение. Последовательность {x_n} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

Определение. Последовательность {x_n}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что

x_n£M.

Определение. Последовательность {x_n}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что

x_n³M

Пример. {x_n} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.

Определение. Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > Nвыполняется условие:

Это записывается: limx_n = a.

В этом случае говорят, что последовательность {x_n}сходится к а при n®¥.

Свойство: Если отбросить какое- либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

Пример. Доказать, что предел последовательности lim

.

Пусть при n > Nверно

, т.е. . Это верно при , таким образом, если за Nвзять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

Пример. Показать, что при n®¥последовательность 3,

имеет пределом число 2.

Итого: {x_n}= 2 + 1/n; 1/n = x_n – 2

Очевидно, что существует такое число n, что

, т.е. lim {x_n} = 2.

Теорема.Последовательность не может иметь более одного предела.

Доказательство. Предположим, что последовательность {x_n}имеет два предела aи b, не равные друг другу.

x_n®a; x_n®b; a¹b.

Тогда по определению существует такое число e >0, что

Запишем выражение:

А т.к. e- любое число, то

, т.е. a = b. Теорема доказана.

Теорема.Если x_n®a, то

.

Доказательство. Из x_n®aследует, что

. В то же время:

, т.е. , т.е. . Теорема доказана.

Теорема.Если x_n®a, то последовательность {x_n} ограничена.

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

Например, последовательность

не имеет предела, хотя

Монотонные последовательности.

Определение. 1) Если x_n+1 > x_nдля всех n, то последовательность возрастающая.

2) Если x_n+1³x_nдля всех n, то последовательность неубывающая.

3) Если x_n+1 < x_nдля всех n, то последовательность убывающая.

4)Если x_n+1£x_nдля всех n, то последовательность невозрастающая

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Пример. {x_n} = 1/n – убывающая и ограниченная

{x_n} = n – возрастающая и неограниченная.

Пример. Доказать, что последовательность {x_n}=

монотонная возрастающая.

Найдем член последовательности {x_n+1}=

Найдем знак разности: {x_n}-{x_n+1}=

, т.к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, x_n+1 > x_n. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность

{x_n} =

.

Найдем

. Найдем разность

, т.к. nÎN, то 1 – 4n <0, т.е. х_n+1 < x_n. Последовательность монотонно убывает.

Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.

Теорема.Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность

х₁£ х₂£ х₃£ … £ х_n£x_n+1£ …

Эта последовательность ограничена сверху: x_n£M, где М – некоторое число.

Т.к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого e>0 существует такое число N, что x_N > a - e, где а – некоторая верхняя грань множества.

Т.к. {x_n}- неубывающая последовательность, то при N > n а - e < x_N£x_n,

x_n > a - e.

Отсюдаa - e < x_n < a + e

-e < x_n – a < eилиôx_n - aô< e, т.е. lim x_n = a.

Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично.

Теорема доказана.

Число е.

Рассмотрим последовательность {x_n} =

.

Если последовательность {x_n} монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.

По формуле бинома Ньютона:

или, что то же самое

Покажем, что последовательность {x_n} – возрастающая. Действительно, запишем выражение x_n+1 и сравним его с выражением x_n:

Каждое слагаемое в выражении x_n+1 больше соответствующего значения x_n, и, кроме того, у x_n+1 добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность {x_n} возрастающая.

Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: x_n < 3.

Итак, последовательность

- монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.

Из неравенства

следует, что е £ 3. Отбрасывая в равенстве для {x_n} все члены, начиная с четвертого, имеем: