Шпаргалка по Высшей математике 2 (стр. 7 из 21)

и

Предположим, что она верна для

, и докажем, что тогда она верна и при . Действительно,

При этом в квадратных скобках получается:

и так далее, то есть как раз то, что должно получиться в качестве коэффициентов формулы бинома Ньютона при

.

Доказательство теоремы. Рассмотрим последовательность

и применим к формулу бинома Ньютона при и . Получим

Покажем, что последовательность

ограничена сверху. Для этого заменим все дроби , , ..., на 1. Все эти дроби меньше 1, так что сумма в правой части формулы увеличится:

Далее, заменим все числа

в знаменателях этих слагаемых на 2; от этого правая часть ещё увеличится. Получим:

В правой части получилась сумма членов геометрической прогрессии. Она равна

Поэтому

что и означает ограниченность последовательности сверху числом 3.

Покажем теперь, что последовательность

не убывает. Действительно, запишем формулу в виде

В аналогичной формуле, написанной для

вместо , во-первых, увеличится каждое из выражений в круглых скобках (так как вычитаемое уменьшится) и, значит, увеличатся все слагаемые, содержащие такие скобки. Во-вторых, число слагаемых увеличится на одно: добавится положительное слагаемое

Следовательно, при росте номера

члены последовательности строго возрастают: при всех .

Применим теперь к возрастающей ограниченной сверху последовательности

теорему о пределе монотонной ограниченной функции и получим, что существует предел

причём число

не больше постоянной 3, ограничивающей последовательность. Осталось заметить, что . Так как все последующие члены ещё больше, то и предел , на основании теоремы о переходе к пределу в неравенстве, не меньше числа , что и завершает доказательство теоремы.

Замечание: Можно также показать, что

однако строгое доказательство достаточно тяжело, и мы его здесь пропускаем.

В формуле можно сделать замену

, при этом база перейдёт в базу , и мы получим

Билет 8:

Вопрос 1: Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей:

Угол между двумя плоскостями в пространстве j связан с углом между нормалями к этим плоскостям j₁ соотношением:

j = j₁ или j = 180⁰ - j₁, т.е. cos j =

cosj₁.

Определим угол j₁. Известно, что плоскости могут быть заданы соотношениями:

, где

(A1, B1, C1), (A2, B2, C2). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения:

.

Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:

Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.

На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:

.

Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны:

// .Это условие выполняется, если: .

Вопрос 2: Неопределенности и способы их раскрытия:

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

1. ,
2. ,
3. 0 / 0,
4. 00,
5. ,
6. ,
7. 

По таким выражениям сложно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Правило Лопиталя: раскрытия неопределенностей 0/0 и ∞/∞

Ранее мы познакомились с примерами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, то есть раскрытия неопределенностей вида 0/0 и ∞/∞. Сейчас рассмотрим новое правило раскрытия этих неопределенностей.

Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть

или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем

(1)

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.