Шпаргалка по Высшей математике 2 (стр. 6 из 21)

но

( -- нечётная функция), и поэтому

Мы показали, что левосторонний предел также равен 1, что и завершает доказательство теоремы.

Доказанная теорема означает, что график функции

выглядит так:

Рис.2.28.График

Билет 7:

Вопрос 1: Уравнение плоскости. Вывод и исследование:

Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат. Попробуем установить, какой вид может иметь уравнение плоскости. Для этого заметим, что все плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны друг другу.

Определение 1: Любая прямая, перпендикулярная плоскости, называется нормалью к плоскости, а любой ненулевой вектор на такой прямой мы будем называть нормальным вектором плоскости.

Замечание 1: Из определения видно, что нормальный вектор у фиксированной плоскости определяется не однозначно. Все нормальные векторы одной плоскости коллинеарны друг другу и поэтому получаются один из другого умножением на число, отличное от нуля.

Для того чтобы из параллельных плоскостей выбрать одну, достаточно задать точку, через которую проходит эта плоскость. Итак, если у плоскости известны нормальный вектор и точка, через которую она проходит, то плоскость определена однозначно.

Теорема 1: Пусть вектор

является нормальным вектором плоскости , проходящей через точку . Тогда уравнение

(1)

является уравнением плоскости

.

Доказательство. Пусть

-- некоторая точка плоскости (рис. 11.1). Иногда говорят "текущая точка" плоскости, так как предполагается, что ее координаты меняются и точка пробегает всю плоскость.

Рис.11.1.

Вектор

лежит на плоскости . Следовательно, вектор ортогонален вектору n. Если же взять точку , не лежащую на плоскости , то вектор не будет ортогональным вектору n. Так как условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения, то условием того, что точка лежит в плоскости , является выполнение равенства

(2)

Выразив скалярное произведение в левой части этого равенства через координаты сомножителей по формуле , получим формулу (1).

Пусть r -- радиус-вектор текущей точки

плоскости , -- радиус-вектор точки . Тогда уравнение (2) можно переписать в виде

Такое уравнение обычно называют векторным уравнением плоскости

.

Раскроем скобки в уравнении (1). Так как точка

- фиксированная, то выражение

является числом, которое обозначим буквой . Тогда уравнение принимает вид

(3)

Такое уравнение называется общим уравнением плоскости. Еще раз отметим, что в этом уравнении хотя бы один из коэффициентов

отличен от нуля, так как .

Верно и обратное утверждение:

Теорема 2: Всякое уравнение (3), в котором

, является уравнением плоскости, ортогональной вектору .

Доказательство: Условие

означает, что хотя бы одно из чисел , отлично от нуля. Пусть это будет, например, число . Преобразуем уравнение (3) следующим образом:

По теореме 1 такое уравнение является уравнением плоскости с нормальным вектором n, проходящей через точку

.

Теорема 3: позволяет написать уравнение плоскости, если известна точка этой плоскости и вектор, ортогональный плоскости. Однако, довольно часто встречаются задачи, где требуется получить уравнение плоскости, если известна точка, лежащая на ней, и два неколлинеарных вектора, лежащих или, что то же самое, параллельных плоскости. Покажем на примере, как решается такая задача.

Вопрос 2: Второй замечательный предел:

Определение: Вторым замечательным пределом называется предел

Число

, заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число часто называют основанием натуральных логарифмов.

Теорема: Второй замечательный предел существует. Его значение

- число, лежащее между и .

Лемма: Пусть

и - натуральное число. Тогда имеет место формула

Заметим, что в дроби

очевидно, сокращаются все сомножители в числителе и знаменателе, так что эта дробь равна 1. Аналогично, в предыдущем (не выписанном) слагаемом после сокращения получается коэффициент, равный , в третьем справа слагаемом -равный , и т. д. Таким образом, коэффициенты в слагаемых, стоящих на одинаковых местах, считая слева и справа от края формулы, совпадают.

Доказательство. Оказывать утверждение леммы будем по индукции по параметру

. При формула, очевидно, верна:

Заметим, что при

и ормула также хорошо известна: