
Свойства смешанного произведения:
1)Смешанное произведение равно нулю, если: а)хоть один из векторов равен нулю; б)два из векторов коллинеарны; в)векторы компланарны.
2)

3)

4)

5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами

,

и

, равен

6)Если

,

, то

Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости. Найдем координаты векторов:

Найдем смешанное произведение полученных векторов:

, Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.
Вопрос 2: Первый замечательный предел:
Определение: Первым замечательным пределом называется предел

Теорема: Первый замечательный предел равен

Доказательство. Рассмотрим два односторонних предела

и

и докажем, что каждый из них равен 1. Тогда по теореме двусторонний предел

также будет равняться 1.
Итак, пусть

(этот интервал - одно из окончаний базы

). В тригонометрическом круге (радиуса

) с центром

построим центральный угол, равный

, и проведём вертикальную касательную в точке

пересечения горизонтальной оси с окружностью (

). Обозначим точку пересечения луча с углом наклона

с окружностью буквой

, а с вертикальной касательной -- буквой

; через

обозначим проекцию точки

на горизонтальную ось.

Рис.2.27.Тригонометрический круг
Пусть

- площадь треугольника

,

- площадь кругового сектора

, а

- площадь треугольника

. Тогда очевидно следующее неравенство:

Заметим, что горизонтальная координата точки

равна

, а вертикальная -

(это высота треугольника

), так что

. Площадь центрального сектора круга радиуса

с центральным углом

равна

, так что

. Из треугольника

находим, что

. Поэтому

Неравенство, связывающее площади трёх фигур, можно теперь записать в виде

Все три части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать так:

или (умножив на

) так:

Предел постоянной 1 в правой части неравенства, очевидно, равен 1. Если мы покажем, что при

предел

в левой части неравенства тоже равен 1, то по теореме "о двух милиционерах" предел средней части

также будет равен 1.
Итак, осталось доказать, что

. Сперва заметим, что

, так как

равняется длине дуги окружности

, которая, очевидно, длиннее хорды

. Применяя теорему "о двух милиционерах" к неравенству

при

, получаем, что
Простая замена переменной

показывает, что и

. Теперь заметим, что

. Применяя теоремы о линейности предела и о пределе произведения, получаем:
Тем самым показано, что

Сделаем теперь замену

; при этом база

перейдёт в базу

(что означает, что если

, то

). Значит,