Факторіальні кільця та їх застосування (стр. 8 из 8)
Доведено.
Зрозуміло, що коли R – область цілісності з одиницею, то R[х1, х2,…, xn-1, хn] – область цілісності з одиницею.
Наступна теорема встановлює будову елементів області цілісності R[х1, х2,…, xn-1, хn].
Теорема 2. Кожний елемент fÎR [х1, х2,…, xn-1, хn] можна подати у вигляді скінченної суми
AiÎR, kijÎZ+(5)Навпаки, будь-який вираз виду (5) є елементом кільця R[х1, х2,…, xn-1, хn].
Доведення
Доведення проведемо індукцією по n. При n=1 твердження правильне. Припустимо, що воно правильне при n=m і перевіримо його правильність при n=m+1. За означенням 1, кожний елемент fÎR [х1, х2,…, xm, хm+1] є многочлен від Хm=1 над областю цілісності R [х1, х2,…, xm], і тому його можна подати у вигляді суми
(6)За припущенням індукції, кожний многочлен aj(x1, …, xm) від n змінних можна подати у вигляді скінченної суми
, (7) 
, 
(i=1, 2, …, Nj; s=1, 2, …, m; j=0, 1, 2, …, l).
Підставивши вираз (7) в (6) і виконавши відповідні дії (в розумінні дій у кільці R[х1, х2,…, xm, хm+1] з урахуванням того, що воно містить R[х1, х2,…, xm] як підкільце), дістанемо скінченну суму виду
, (8)де BrÎR (r=1, …, N), бо кожне Br є якесь з
.Навпаки, кожна сума виду (8) є елемент кільця R[х1, х2,…, xm, хm+1]: адже будь-який її доданок 
може розглядатись як многочлен від xm+1 з коефіцієнтом ÎR[х1, х2,…, xm] й тому й уся сума належить кільцю R[х1, х2,…, xm, хm+1].
Отже, твердження теореми правильне і при n=m+1, тобто за принципом математичної індукції теорему доведено.
Доведено.
Означення Кожний елемент кільця R[х1, х2,…, xn] називають многочленом від n змінних х1, х2,…, xn над R. і позначають f(х1, х2,…, xn), g(х1, х2,…, xn) і т. п.
Згідно з теоремою 2, будь-який многочлен з R[х1, х2,…, xn] можна подати у формі суми (5)
AiÎR, kijÎZ+(9)Кожний доданок
цієї суми називають членом многочлена f(х1, х2,…, xn), відповідний елемент AiÎR – коефіцієнтом члена (і многочлена). Два члени, які відрізняються лише коефіцієнтами, називають подібними; іншими словами, члени подібні, якщо усі змінні входять множниками в ці члени у попарно рівних степенях, наприклад 
та 
. При цьому порядок, в якому записано множники 
неістотний, тобточлени
, 
, 
тощо вважаємо однаковими, рівними між собою. Відповідно до цього, R[х2, х1,…, xn], R[х3, х2,…, x1], R[х1, х2,…, xn] і т. п. є різними формами запису того самого кільця многочленів від змінних х1, х2,…, xn над областю цілісності R.Задачі
№1
Виразити через σі такий многочлен
f (x, y)=x3y+y3x+2x2+2y2.
Розв’язання.
Основні симетричні многочлени σ1, σ2 мають вигляд:
σ1=x+y,
σ2=xy.
Виразимо даний многочлен через σ1, σ2
f (x, y)=xy(x2+y2)+2 (x2+y2)=(x2+y2) (xy+2)=
=((x+y)2–2xy) (xy+2)=(σ1–2σ2) (σ2+2)=
=σ12σ2+2σ12–2σ22–4σ2.
Відповідь: f (x, y)=σ12σ2+2σ12–2σ22–4σ2.
№2
Довести, що для Sn=xn+yn, nÎN, при n>2 виконується рекурентне співвідношення
Sk=σ1Sk–1–σ2Sk–2.
Доведення.
Доведемо методом математичної індукції.
Перевіримо базу індукції при n=3
S3=σ1S2–σ2S1=(x+y) (x2+y2) – xy (x+y)=x3+y3.
Припустимо, що твердження вірне для n=k.
Доведемо, що дане твердження справджується і при n=k+1
Sk+1=σ1Sk–σ2Sk–1=(x+y) (xk+yk) – xy(xk–1+yk–1)=
=xk+1+xyk+xky+yk+1–xky–xyk=xk+1+xk+1.
Отже, виходячи з математичної індукції твердження доведено.
Доведено.
3.3.2 Факторіальність кільця поліномів від n змінних
Теорема. Нехай К – факторіальне кільце. Тоді кільце поліномів К[х1,….хn] від х1,…., хn над К також являється факторіальним.
Доведення.
Теорема доводиться індукцією по n. Для n=1 твердження правильне. Припустимо, що кільце поліномів К[х1,….хn–1] від х1,….хn–1, над К факторіальне. Доведемо, що факторіальним тоді буде і кільце К[х1,…, хn].
К[х1,…, хn]=К[х1]… [.хn]=(К[х1,….хn–1]) [xn].
За індуктивним припущенням, кільце К[х1,…, хn–1] факторіальне. Тоді факторіальним є також його розширення (К[х1,….хn–1]) [xn] за допомогою елемента xn, трансцендентного над кільцем К[х1,….хn–1]. Таким чином, кільце поліномів К[х1,….хn] факторіальне для довільного натурального n.
Доведено.
Наслідок Кільце поліномів F[х1,….хn] над полем F факторіальне.
Задачі
№1
Розкласти на множники найменшого степеня з дійсними коефіцієнтами такий многочлен
f (x, y)=10x4–27x3y-110x2y2–27xy3+10y4.
Розв’язання.
f (x, y)=10x4–27x3y-110x2y2–27xy3+10y4=10 (x4+y4) – 27 (x2+y2)–110x=
=10 [(σ12–2σ2)2–2σ22]–27σ2(σ12–2σ2)–110σ22=10σ14–67σ12σ2–36σ22.
Розкладемо цей вираз на множники. Для цього знайдемо його корені.
σ2′=–2σ12,
σ2′′=
σ12.Тоді наш многочлен
f=–36 (σ2–
σ12) (σ2+2σ12)=(–36σ2+5σ12) (σ2+2σ12).f (x, y)=(–36xy+5 (x+y)2) (xy+2 (x+y)2=
=(–36xy+5x2+10xy+5y2) (2x2+3xy+2y2)=
=(5x2–26xy+5y2) (2x2+3xy+2y2).
Розглянемо кожний з цих множників, як квадратний тричлен відносно x
5x2–26xy+5y2 x′=5y, x′′=
.2x2+3xy+2y2 x′=
y, x′′=–2y.Тоді маємо
f (x, y)=(x+2y) (2x+y) (x-5y) (5x–y).
Відповідь: f (x, y)=(x+2y) (2x+y) (x-5y) (5x–y).
Використана література
1. Алгебра і теорія чисел, ч. 1. Завало С.Т., Костарчук В.М., Хацет Б.І. Видавниче об’єднання «Вища школа», 1974, 464 с.
2. Алгебра і теорія чисел, ч. 2. Завало С.Т., Костарчук В.М., Хацет Б.І. Видавниче об’єднання «Вища школа», 1976, 384 с.
3. Алгебра и теория чисел: Учебное пособие для педагогических институтов.–М.: Высшая школа, 1979, – 559 с., ил.
4. Збірник задач з теорії чисел. [Навчальний посібник для студентів фізико-математичного факультету] За ред. І.О. Рокіцького, Вінниця, 2001–115 с.
5. Збірник задач з алгебри. [навчальний посібник для студентів фізико-математичного факультету] За ред. І.О. Рокіцького, Вінниця, 2002–176 с.
6. Алгебра і теорія чисел: Практикум. Частина 2 /С.Т. Завало, С.С. Левіщенко, В.В. Пилаєв, І.О. Рокіцький. – К.: Вища школа Головне видавництво, 1986. – 364 с.
7. Збірник задач і вправ з теорії чисел. Є.П. Морокішко. Центр «Магістр-S», 1995 р. 158 с.