Факторіальні кільця та їх застосування (стр. 4 из 8)

rа + sb = 1.

Помноживши цю рівність на с, дістаємо: а (rc) + (bс) s = с. З цієї рівності випливає, що кожен спільний дільник елементів а і bс буде дільником і елемента с. Але за умовою теореми спільними дільниками елементів а і с є лише дільники одиниці, тому і спільними дільниками a і bс будуть лише дільники одиниці й, отже, а і bс взаємно прості.

Теорема 4. Якщо добуток елементів aÎR і bÎR ділиться на елемент с ÎR, але а і с взаємно прості, то b ділиться на с.

Доведення.

Оскільки а і с – взаємно прості, то в кільці R існують такі r і s, що

rа + sc = 1.

Помноживши цю рівність на b, дістаємо:

(аb) r+с (bs) = b.

Обидва доданки лівої частини останньої рівності діляться на с, а тому і права її частина b ділиться на с.

Теорема 5. Якщо елемент а ÎR ділиться на кожен з елементів bÎR і сÎR, які між собою взаємно прості, то а ділиться і на добуток bс.

Доведення.

Справді, за умовою теореми, а.^: b, тобто а = bg. Оскільки а M с, то bgM с. Але b і с взаємно прості, тому, за теоремою 4, g: с, тобто g=cq.

Отже, а == (bс) q, тобто аMbс.

Доведено.

Теорема 6. Якщо R – кільце головних ідеалів і р – простий елемент цього кільця, то фактор-кільце R/(р) є поле.

Доведення.

Одиничний елемент

= 1 + (р) кільця R/(р) відмінний від = (р). Справді, якби = , то елемент 1 містився б в ідеалі (р) і тому р/1. Але елемент р не може бути дільником одиниці, оскільки він нерозкладний. Отже, в кільці R/(р) є принаймні один відмінний від нуля елемент.

Покажемо, що в кільці R/(р) здійсненна операція ділення, крім_ділення на нуль, тобто що для будь-яких елементів

= a + (р) ≠ 0 і = + (р) кільця R/(р) рівняння • = має в цьому кільці розв'язок. Справді, оскільки ≠ , то а не ділиться на р. Отже, за другою властивістю нерозкладних елементів, елементи а і р – взаємно прості, тобто (а, р) = 1. Тому, за теоремою 2, в кільці R існують такі елементи r і s, що аr + рs = 1. Звідси

аrb + рsb =b, аrb º b (тоd p),

і, отже,

• = . Таким чином, = є розв'язком рівняння = .

Доведено.

Наслідок. Якщо добуток кількох елементів кільця головних ідеалів R ділиться на простий елемент рÎR, то принаймні один із співмножників ділиться на р.

Доведення.

Припустимо, що добуток a₁ • а₂ •… • a_s (a_iÎR) ділиться на нерозкладний елемент р ÎR, тобто що a₁а_2… а_sÎ (р).

Розглянемо елементи a_i = а_i+(р) (і =1, 2,…. s) і

= a₁ a₂ …a_s+(р). За означенням операції множення в кільці R/(р) =

Оскільки a₁ a₂ …a_sÎ(р), то

= і, отже, = Звідси, оскільки, за теоремою 6, R/(р) є поле, випливає, що для деякого m (1 < т < s) = . Але = означає, що a_mÎ(p), тобто що a_mM р.

Цим справедливість наслідку доведено.

Нашою метою буде тепер доведення твердження про можливість розкладу кожного елемента кільця головних ідеалів у добуток простих (нерозкладних) множників. Воно ґрунтується на такій лемі.

Лема. В кільці головних ідеалів R не існує нескінченної строго зростаючої послідовності ідеалів

U₀Ì U₁Ì U₂ Ì…ÌU_NÌ …. (4)

Доведення.

Припустимо, що нескінченна строго зростаюча послідовність (4) існує. Позначимо символом b об'єднання всіх ідеалів послідовності (4). Множина b є ідеал кільця R. Справді, якщо aєb і bєb, то а є елемент деякого ідеалу U_s, і b – деякого ідеалу U_l. Тому а і b є елементи ідеалу U_m, де m – більший з індексів s і l. Отже, (а + b)є U_mÌb, (а – b)єU_mÌb і для будь-якого rєR arєU_mÌb. Оскільки R – кільце головних ідеалів, то ідеал b головний. Нехай b= (b). Елемент b, як елемент об'єднання ідеалів послідовності (4), належить до деякого ідеалу U_k, а отже, і до кожного ідеалу U_i, при і ≥k

Тому (b) = U_k=U_k+1 = U_k+2 =…. А це суперечить нашому припущенню.

Доведено.

Теорема7. В кільці головних ідеалів R кожен відмінний від нуля елемент, що не е дільником одиниці, розкладається в добуток простих множників.

Доведення.

Для кожного простого елемента кільця R теорема справедлива: для простого елемента добуток, про який говориться в теоремі, складається з одного множника. Припустимо, що в кільці R є відмінний від нуля елемент а, який не можна розкласти в добуток простих множників. Елемент а не простий і, отже, а = a₁a₂, де a₁ і a₂ – нетривіальні дільники елемента а.

Принаймні один з елементів a₁ і a₂ не можна розкласти в добуток простих множників, бо в противному разі і елемент а розкладався б у добуток простих множників. Не втрачаючи загальності міркувань, припустимо, що a₁ не можна розкласти в добуток простих множників. Тоді a₁=a₁₁a_12, де a₁₁ та a₁₂–нетривіальні дільники. Принаймні один з елементів a₁₁ та a₁₂ також не можна розкласти в добуток простих множників. Нехай цим елементом є a₁₁. Для елемента a₁₁ міркування повторимо і т.д. Цей процес послідовного розкладу, очевидно, не може обірватися. Таким чином, ми дістанемо нескінченну послідовність елементів

а, a₁, a₁₁, a₁₁₁,…, (5)

у якій кожен наступний член є власним дільником попереднього.

Якщо a_i+1 є власним дільником a_i, то (a_i+1)Ì(a_i), оскільки a_i=a_i+1r, де r – деякий елемент R. Тому головні ідеали, породжені елементами послідовності (5), утворюють нескінченну строго зростаючу послідовність ідеалів

(а)Ì(a₁)Ì(a₁₁)Ì(a₁₁₁)Ì…,

а це суперечить доведеній вище лемі. Отже, наше припущення неправильне.

Доведено.

Покажемо тепер, що розклад, про який іде мова в теоремі 7, однозначний з точністю до порядку співмножників і до дільників одиниці.

Теорема8. Якщо

a =p₁p₂…p_r =q₁q₂…q_s

є два розклади елемента а кільця головних ідеалів R в добуток простих множників, то r=s і, при відповідній нумерації співмножників, справджуються рівності q_i=ε_i p_i (і == 1, 2,…, r), де ε_i – деякий дільник одиниці кільця R.

Доведення.

Доводитимемо індукцією по r. При r = І справедливість твердження очевидна.

Справді, оскільки елемент а = р₁ простий, то добуток q₁q₂…q_s

може містити лише один множник q₁₌p₁.

Припустимо, що теорема правильна для r – 1 (2 £ r), і доведемо, що в такому разі теорема справедлива й для r. Справді, оскільки

a =p₁p₂…p_r і a = q₁q₂…q_s то

p₁p₂…p_r =q₁q₂…q_s (6)

З рівності (6) випливає, що q₁q₂…q_s ділиться на p₁. Тому, за наслідком з теореми 6, принаймні один із співмножників q_1,q_2,…, q_s ділиться на p_i. Ми вважатимемо, що на p₁ ділиться множник q₁: цього завжди можна досягти зміною нумерації множників q_1,q_2,…, q_s. Оскільки q₁ – простий елемент і ділиться на простий елемент p₁, то q₁=e₁p₁, де e₁ – деякий дільник одиниці кільця R. Підставивши в рівність (6) e₁p₁ замість q₁ і скоротивши обидві частини одержаної рівності на р₁, дістанемо:

p₂p₃…p_r =(e₁q₂) q₃…q_s.

Але, за індуктивним припущенням, r– 1 == s– 1 і при відповідній нумерації множників q_1,q_2,…, q_r:

q₂=e₁q₂=e₂p_2, q₃=e₃p₃, …, q_r=e_rp_r,