Линейные уравнения и их свойства (стр. 6 из 7)

3. Проверить на уровне значимости

нулевую гипотезу : при конкурирующей гипотезе : .

Задачу решить для следующих значений параметров

, , .

Решение.1.Выборочное среднее при объеме выборки n=10 находится по формуле

.

Подставляя в формулу значения

из таблицы 7, получим

=5,5 (%).

Для вычисления выборочной дисперсии используется формула

.

Составим следующую вспомогательную таблицу, куда внесем отклонения

и их квадраты .

Таблица 8

Содержание крахмала в пробе, %
5,2	-0,3	0,09
5,8	0,3	0,09
5,7	0,2	0,04
6,0	0,5	0,25
5,9	0,4	0,16
5,3	-0,2	0,04
4,9	-0,6	0,36
5,1	-0,4	0,16
5,3	-0,2	0,04
5,8	0,3	0,09
	-	1,32

По данным таблицы 8 определим выборочное среднее

Выборочное среднее квадратическое отклонение находится:

Исправленную дисперсию

находят для малых значений n (n<30) по значению :

Исправленное стандартное отклонение

вычисляют путем извлечения квадратного корня из

:

Для оценки математического ожидания

нормально распределенного признака по выборочной средней при неизвестном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал

где

=2,26 находим по таблице ([2], приложение 3) по заданным n=10 и =0,95.

Вычислим

Тогда

или

Оценкой среднего квадратического отклонения

нормально распределенного количественного признака по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению служат доверительные интервалы

при

при

где

находят по таблице ([2], приложение 4) по заданным значениям n=10 и =0,95. В данном случае и используется первая формула:

или

Чтобы найти вероятность того, что величина содержания крахмала

в выбранной наудачу пробе окажется в пределе от до воспользуемся точечными оценками параметров нормального распределения и в формуле:

.

Учитывая нечетность функции Лапласа

, имеем ([2], приложение 2)

3. Для того, чтобы при заданном уровне значимости

, проверить нулевую гипотезу : о равенстве неизвестной генеральной средней гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе : , надо вычислить наблюдаемое значение статистического критерия

и по таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному значению

и числу степеней свободы k=n-1 найти критическую точку . Если справедливо неравенство , то оснований отвергнуть нулевую гипотезу не имеется. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

Найдем наблюдаемое значение критерия

В таблице критических точек распределения Стьюдента ([2], приложение 6) по значению

=0,05 и числу степеней свободы k = n-1 =9 находим =2,26. Так как выполняется неравенство , то нулевая гипотеза отвергается и выборочная средняя =5,5 значимо отличается от генеральной средней =5,0. Заметим, что если бы проверялась нулевая гипотеза для =5,3, то наблюдаемое значение критерия было бы =1,65 и нулевую гипотезу не было бы оснований отвергать и незначимо отличалась бы от .