Векторная алгебра и аналитическая геометрия (стр. 5 из 5)

Директрисой эллипса, соответствующей данному фокусу

, называется прямая , перпендикулярная первой оси и отстоящая от центра эллипса на расстояние , где – эксцентриситет эллипса.

Каноническое уравнение эллипса в декартовой системе координат:

, где и – большая и малая полуоси эллипса, соответственно.

Определение. Гиперболой называется множество точек

плоскости (см. рис.8) , модуль разности расстояний которых до двух данных точек и (фокусов гиперболы) постоянен и равен . Фокусное расстояние обозначают через . Прямая, на которой лежат фокусы, называется действительной (или фокальной осью) гиперболы. Прямая, проходящая через центр гиперболы , перпендикулярно к действительной оси, называется

мнимой осью.

Директрисой гиперболы, соответствующей данному фокусу

, называется прямая , перпендикулярная к действительной оси, отстоящая от центра на расстояние и лежащая от центра по одну сторону с фокусом, где – эксцентриситет.

Гипербола имеет две асимптоты, заданные уравнениями

.

Каноническое уравнение гиперболы в декартовой системе координат:

,

где

и – половины сторон основного прямоугольника гиперболы.

Пример 9. Определить вид линии второго порядка, заданной уравнением

.

Решение. Выделим полные квадраты по х и по у, получим:

,

,

,

т.е. имеем гиперболу, центр которой лежит в точке

, .

Полярные координаты. Для точки в плоскости Oxy ее полярные координаты определяются парой чисел , где – длина вектора , а – угол наклона вектора к полярной оси (положительного направления оси Ox), – длина вектора .

Декартовые и полярные координаты связаны следующими соотношениями:

.