Теоремы Ролля Коши Лагранжа Правило Лопиталя (стр. 2 из 2)
Теорема. Если функции 
и 
непрерывны на отрезке 
и дифференцируемы во всех его внутренних точках, причем 
не обращается в ноль ни в одной из указанных точек, то существует, по крайней мере, одна точка 
, в которой
.Доказательство. Так как
во всех точках 
, то отсюда следует, что 
. В противном случае, как следует из теоремы Ролля, существовала хотя бы одна точка , в которой 
.Составим вспомогательную функцию
.Данная функция непрерывна на отрезке
и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление ее в точках 
и 
дает: 
. Значит, функция 
удовлетворяет требованиям теоремы Ролля, то есть существует хотя бы одна точка , в которой 
.Вычислим производную
: 
.Из условия
следует, что 
и ,что и требовалось доказать.
В случае, когда
, теорема Коши переходит в формулировку теоремы Лагранжа.4. Правило Лопиталя
На основании теоремы Коши о среднем можно получить удобный метод вычисления некоторых пределов, называемый правилом Лопиталя (1661–1704).
Теорема. Пусть функции 
и непрерывны и дифференцируемы во всех точках полуинтервала 
и при 
совместно стремятся к нулю или бесконечности. Тогда, если отношение их производных имеет предел при , то этот же предел имеет отношение и самих функций, то есть
.Проведем доказательство данной теоремы только для случая, когда
. Так как пределы у обеих функций одинаковы, то доопределим их на отрезке , положив, что при выполняется равенство 
.Возьмем точку
. Так как функции и удовлетворяют теореме Коши (п. 2.14), применим ее на отрезке 
: 
, где 
.Так как
, то 
.Перейдем в данном равенстве к пределу:
.Но если
, то и 
, находящееся между точками 
и 
, будет стремится к , значит
.Отсюда, если
, то и 
, то есть ,что и требовалось доказать.
Если при
, то снова получается неопределенность вида 
и правило Лопиталя можно применять снова, то есть 
Доказательство правила Лопиталя для случая
проводится сложнее, и мы его рассматривать не будем.При раскрытии неопределенностей типа
, 
, 
, 
, 
правило Лопиталя применять непосредственно нельзя. Вначале все эти неопределенности необходимо преобразовать к виду или .Правило Лопиталя может быть использовано при сравнении роста функций, в случае когда
. Наибольший практический интерес здесь представляют функции 
, 
, 
. Для этого найдем пределы их отношений:1)
, значит, растет быстрее, чем ;2)
, значит, растет быстрее, чем ;3)
, значит, растет быстрее, чем .Отсюда следует, что быстрее всего растет
, затем и, наконец, .Литература
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., «Высшая школа» изд. 5, 1977.
2. Зайцев И.А. Высшая математика. ДРОФА, 2005. – 400 с.
3. Краснов М. Вся высшая математика т. 1 изд. 2. Едиториал УРСС, 2003. – 328 с.
4. Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И., Шикин Е.В. Вся высшая математика Интегральное исчисление. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальная геометрия Том 2.: Учебник – 3-е изд. ЛКИ, 2007.
5. Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109 с.