О категории множеств (стр. 3 из 5)
· <pra,prb>=1 
.
Доказательство: изобразим данную ситуацию на диаграмме.(точнее левую часть доказываемого равенства). Видим, что стрелка <pra,prb> переводит объект 
в объект 
. А по определению категории существует только одна единичная стрелка (та, которая переводит объект категории в себя). Значит, эти стрелки совпадают. Ч.т.д.· Если <f,g>=<k,h>, то f=k и g=h.
Доказательство: разберемся с условием утверждения.
a) Стрелка <f,g> существует по условиюÞdomf=domg. Пусть f:c®a, g:c®b. тогда стрелка <f,g>:c®
.b) Стрелка <k,h> совпадает со стрелкой <f,g> по условию. Þ dom<k,h>=dom<f,g>=c, cod<k,h>=cod<f,g>=
. Þстрелки k,h такие, что domk=domh=c, а концы этих стрелок в объектах a и b.c) Предположим, что k:c®b, h:c®a. Если это так, то стрелка <k,h>:c®
. Тогда <k,h>¹<f,g>, так как у них не совпадают концы.d) Получили противоречие после того, как предположили, что k:c®b, h:c®a. остается один вариант: k:c®a, h:c®b. значит f=k, g=h. Ч.т.д.
· <f°h, g°h>=<f,g>°h
Доказательство: Посмотрим, что означает стрелка <f°h, g°h>. Во-первых: композиция двух стрелок существует, когда конец одной стрелки является началом другой. Из условия следует, что domf=codh и domg=codh, а также dom<f,g>=codh. Т.е. стрелки f, g, <f,g> имеют одно и то же начало. Пусть h: d®c, g:c®b, f:c®a. Изобразим диаграмму: эта диаграмма коммутативна, т.е. pra°<f,g>°h=f°h и prb°<f,g>°h=g°h. Произведением стрелок f°h, g°h является однозначно-определенная стрелка (она единственна по определению произведения). И этой стрелкой является композиция стрелок <f,g> и h.1.9. Произведение отображений
Для данных теоретико-множественных функций f:A®B и g:C®D определим функцию
. 
является произведением двух композиций: 
и 
. Поэтому дадим следующее определение. 
Определение: если f:a®b и g:c®d – две Ω-стрелки, то через 
обозначим Ω-стрелку 
.· 
Доказательство: представим ситуацию диаграммой. По определению произведения стрелок стрелка 
: ® , и эта стрелка единственна. А по определению категории, у каждого объекта существует единичная стрелка, т.е. та, которая переводит объект в себя. Значит стрелки 
и 
совпадают. Ч.т.д.·
Доказательство: для того, чтобы доказать изоморфизм двух объектов, необходимо найти изострелку. В нашем случае изострелку f: ® 
. Для существования произведения необходимо иметь две стрелки. Пусть g:a®b, h:b®a. тогда 
: ® 
. Эта стрелка единственна по определению произведения. Изобразим диаграмму.А теперь рассмотрим стрелку
. Предположительно, эта стрелка является обратной к стрелке . (эта стрелка тоже единственна по определению произведения). Действительно, композиция ( )°( 
): ® . Так как стрелки и - единственны, то и их композиция есть единственная стрелка. А по определению категории, каждый объект имеет единичную стрелку. Поэтому, ( 
)°( )= 
. Аналогично ( )°( )= 
. Значит, по определению изострелки, стрелка является изострелкой. Þ 
(по определению изоморфности двух объектов). Ч.т.д.·
Доказательство: для доказательства этого утверждения построим диаграмму.
Стрелка
: 
. Если рассмотреть подобную диаграмму (в которой 
), то получим стрелку 
. Эта стрелка является обратной к стрелке 
. (проверяется аналогично). Значит - изострелка. Þ Þ . Ч.т.д.·
Доказательство:
a) так как существует композиция
, то dom 
=cod 
.b) Так как существует стрелка
, то domg=domk.c) Из существования стрелки
следует, что dom(f°g)=dom(h°k), domf=codg, domh=codk.d) Изобразим диаграмму. Композиция
:с® 
.e)
:с® 
. А по определению произведения объектов стрелка - единственна. Значит стрелки <f°g,h°k> и 
совпадают. Ч.т.д. 1.10. Копроизведение объектов
Понятие копроизведения, или суммы объектов, является двойственным к понятию произведения. Его определение получается непосредственно из определения произведения по принципу двойственности.